Применение интегралов к решению прикладных задач

курсовая работа

5.1 Масса тела. Объём

Пусть дано некоторое тело , заполненное массами, и в каждой точке известна плотность распределения этих масс. Требуется определить всю массу тела.

Разложим тело на ряд частей: . Точка . Пусть в пределах части плотность постоянна и равна в выбранной точке. Тогда масса , масса всего тела . Если диаметры всех частей стремятся к нулю, то или . Последнее выражение называется тройным интегралом.

Пусть дана функция в данном теле .

Если функция , то , где есть объём данного тела

. Вычисление тройного интеграла можно выполнить с помощью трёх последовательных простых интегрирований.

Пример:

1). Вычислить интеграл , распространённый на тетраэдр , ограничиваемый плоскостями , , и (чертёж ). Решение: Запишем границы изменения каждой из переменных

, отсюда

.

Итак, .

Делись добром ;)