Применение неравенств при решении олимпиадных задач

научная работа

3.3 Сборник задач

Упражнение 1. Неравенство Йенсена:

1.Докажите неравенство , (подсказка: ).

2.Докажите неравенство , где .

3.Докажите неравенство , при .

Упражнение 2. Неравенство Коши-Буняковского:

1.Доказать, что , где a,b,c - стороны треугольника; ha, hb, hc - высоты треугольника, опущенные на эти стороны; S - площадь треугольника.

2.Доказать, что , .

3.Доказать, что , если .

Упражнение 3. Неравенство Коши:

1.Для неотрицательных a, b, c выполняется условие a2+b2+c2=1. Доказать, что .

2.Дано: a, b, c?0, a+b+c=1. Доказать неравенство: .

3.Доказать: .

4.Дано: x, y, z>0, xyz=1. Доказать .

Упражнение 4. Неравенство Бернулли:

1.Решить уравнение: .

2.Решить уравнение: .

3.Решить уравнение: .

Упражнение 5. Весовое (общее) неравенство Коши:

1.Доказать неравенство , если .

2.Доказать неравенство: .

3.Доказать неравенство:.

Делись добром ;)