Применение производной к решению задач

курсовая работа

2.2.1.2 По дифференциальной геометрии

Пример 12. Найти геодезическую кривизну винтовой линии , лежащей на прямом геликоиде

, , .

Решение. Запишем формулу для вычисления :

.

, ,

.

Положим , тогда , . Применяя формулу для вычисления , получим

.

Пример 13. Для кривой , , составить уравнение касательной, главной нормали, бинормали в точке .

Решение. Проверим, лежит ли точка на кривой:

.

Точка лежит на кривой и соответствует значению параметра .

Напишем уравнение кривой в векторном виде: . Тогда , .

В точке : , .

Уравнение касательной в точке имеет вид:

.

Найдем уравнение бинормали, ее направляющий вектор коллинеарен вектору .

,

уравнение бинормали. Найдем направляющий вектор главной нормали:

.

Главная нормаль задается уравнением .

Пример 14. Найти длину дуги одного витка кривой:

, , (где ) между двумя ее соседними точками пересечения с плоскостью .

Решение. Данная кривая пересекает плоскость , если . Отсюда следует, что ; и - значения параметра между двумя соседними точками пересечения с плоскостью .

Тогда

,

, , ,

.

В промежутке , поэтому . Следовательно , длина дуги

.

Делись добром ;)