Применение производной к решению задач

курсовая работа

2.4 Доказательство неравенств

При доказательстве неравенств методами дифференциального исчисления используются теоремы о монотонности функций.

Пример 18. Докажем, что для всех справедливо неравенство .

Решение. Составим вспомогательную функцию , где , и найдем ее производную .

Так как при выполняется неравенство , причем равенство возможно лишь в случае, то функция возрастает на луче . В частности, выполняется неравенство . Но .

Значит, , т.е. .

Таким образом, , что и требовалось доказать.

Пример 19. Докажем, что при выполняется неравенство

.

Решение. Составим вспомогательную функцию , где

,

и найдем ее производную

.

Из предыдущего примера следует, что , значит, функция возрастает на луче . Но тогда из неравенства вытекает неравенство , а так как , то получаем , т.е.

и, следовательно,

,

Что и требовалось доказать.

Пример 20. Докажем, что если , то .

Решение. Исследуем на монотонность функцию . Имеем

.

если, то, как известно, и тем более . Значит, в интервале выполняется неравенство , а потому функция возрастает на этом интервале. Тогда из следует , т.е. , что и требовалось доказать.

Делись добром ;)