Применение производной при нахождении предела

курсовая работа

2.3 Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Теорема. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b), то

(a,b): f (b) - f (a) =f () (b-a).

Доказательство. Рассмотрим функцию

.

Для этой функции F (a) =F (b) =0, и к ней применима теорема Роля

.

Геометрическая интерпретация

Существует точка, касательная в которой, параллельна хорде, соединяющей точки A и B графика.

Следствие 1. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f (x) 0 на (a,b), то f (x) const.

Применяя теорему к произвольному отрезку [x0,x], где x0 произвольная фиксированная точка, получим

f (x) - f (x0) =f () (x - x0) =0, т.е. f (x) = f (x0).

Следствие 2. Если f непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и f (x) =g (x) на (a,b), то f (x) =g (x) + const.

Делись добром ;)