3.1 Раскрытие неопределенностей вида 0/0

Дано: f (x), g (x) определены на (x₀,b) и

1)

2) f,g дифференцируемы на (x₀,b)

3) g (x) 0 на (x₀,b).

Тогда

,

если существует конечный или бесконечный предел

.

Доказательство. Доопределим f, g в точке x₀ по непрерывности нулем f (x₀) =g (x₀) =0. По тереме Коши, примененной к отрезку [x₀,x], будет существовать (x) (x₀,x): x₀< (x) < x и , из условия x₀< (x) <x следует, что , причем (x) x₀, если xx₀. По теореме о существовании предела суперпозиции

= ч. т.д.

Замечание. Аналогично это утверждение доказывается для левой окрестности. Откуда получаем утверждение для x x₀.

Следствие 1. Если

1) Существуют f ^(k),g ^(k), k=1,2,…,n на (x₀,b)

2) , k=0,1,…,n-1

3) Существуeт g ^{(n) (}x) 0 на (x₀,b), то

,

если

существует, конечный или бесконечный.

Следствие 2. Если f, g дифференцируемы для x>a,

, то

,

если последний существует, конечный или бесконечный.

Доказательство. Сделаем замену

Замечание. Аналогичные утверждения имеют место для x - .