Применение численных методов для решения математических задач

курсовая работа

1.2.3 Метод наименьших квадратов и его применение

В задачу аппроксимации входит нахождение такой функции y=f(x), что расстояния между заданными точками yi и значениями f(xi) были минимальными (Рис. 3). Обозначим отклонение:

еi=yi-f(xi)

Размещено на http://www.allbest.ru/

В качестве оценки общего отклонения кривой f(x) от табличных данных (Табл. 1) можно было бы взять сумму отклонений еi, но отклонения могут быть разными по знаку и, не смотря на большие еi их сумма может быть близка к нулю. Очевидно, что необходимо брать сумму абсолютных значений отклонений, но на практике неудобно пользоваться этой функцией, поэтому в качестве критерия оценки отклонения кривой берут сумму квадратов отклонений:

.

Для определения функции f(x) необходимо, во-первых, задать её общий вид, например, f(x)=ax+b, во-вторых, подставив f(x) в и минимизировав у, найти коэффициенты (a и b). Такой метод определения коэффициентов для функции f(x) называется методом наименьших квадратов. Наиболее часто встречающиеся виды функции f(x) для метода наименьших квадратов приведены в таблице 2. Формула y=f(x) называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x.

Таблица 2

Общий вид функции

Аналитическая формула

Вид регрессии

y=f(x,a,b)

y=ax+b

линейная

y=f(x,a,m)

y=axm

степенная

y=f(x,a,m)

y=aemx

показательная

y=f(x,a,b)

дробно-линейная

y=f(x,a,b)

логарифмическая

y=f(x,a,b)

гиперболическая

y=f(x,a,b)

дробно-рациональная

Делись добром ;)