Применение численных методов для решения математических задач

курсовая работа

2. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей

уравнение интерполяция численный интегрирование

Данный метод относится к классу аппроксимационных методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от , в виде многочлена с тем расчетом, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена

.

Используем для построения результаты эксперимента, заключенные в таблице

Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты . Для этого введем функцию

и потребуем, чтобы

,

где - отклонение функции от экспериментальной в узлах .

Используя вид , получим:

.

Необходимыми условиями экстремума функции является равенство нулю ее первой производной по всем переменным . Расписав эти условия, получим СЛАУ вида:

Запишем систему для определения в нормальной форме:

Решаем систему одним из известных методов и находим , которые затем подставляем в искомый многочлен.

Запишем алгоритм метода наименьших квадратов.

Вводим таблицу чисел .

Вычисляем .

Решая любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений, находим - коэффициенты искомого многочлена.

Для таблицы узловых точек, построим аппроксимационный многочлен второго порядка методом наименьших квадратов вида:

.

0.5

0.707

1.0

Для этого необходимо вычислить следующие суммы

и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов вида:

Значения неизвестных коэффициентов равны:

.

Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:

.

Нетрудно заметить, что в узловых точках значения многочлена и табличной функции не совпадают. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке, по сравнению с истинным значением, составляет

.

Делись добром ;)