Применение численных методов для решения математических задач
2. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей
уравнение интерполяция численный интегрирование
Данный метод относится к классу аппроксимационных методов. Идея метода состоит в том, чтобы по данным эксперимента построить приближенно функцию, отображающую зависимость ее от , в виде многочлена с тем расчетом, чтобы сумма квадратов отклонений построенной функции от экспериментальной в узловых точках была минимальна. Будем строить функцию в виде многочлена
.
Используем для построения результаты эксперимента, заключенные в таблице
Построить многочлен, значит, определить его коэффициенты . Для этого введем функцию
и потребуем, чтобы
,
где - отклонение функции от экспериментальной в узлах .
Используя вид , получим:
.
Необходимыми условиями экстремума функции является равенство нулю ее первой производной по всем переменным . Расписав эти условия, получим СЛАУ вида:
Запишем систему для определения в нормальной форме:
Решаем систему одним из известных методов и находим , которые затем подставляем в искомый многочлен.
Запишем алгоритм метода наименьших квадратов.
Вводим таблицу чисел .
Вычисляем .
Решая любым известным методом полученную систему линейных алгебраических уравнений, находим - коэффициенты искомого многочлена.
Для таблицы узловых точек, построим аппроксимационный многочлен второго порядка методом наименьших квадратов вида:
.
0.5 |
0.707 |
1.0 |
Для этого необходимо вычислить следующие суммы
и решить СЛАУ относительно неизвестных коэффициентов вида:
Значения неизвестных коэффициентов равны:
.
Тогда искомый многочлен второго порядка будет иметь вид:
.
Нетрудно заметить, что в узловых точках значения многочлена и табличной функции не совпадают. Погрешность вычислений по данной формуле в контрольной точке, по сравнению с истинным значением, составляет
.