Принцип экстремума для параболических уравнений и его применение

§1.Уравнение теплопроводности

К классическим уравнениям параболического типа относятся уравнение теплопроводности.

Теорема (принцип максимального значения): .

Функция u(x,t) непрерывная в G и удовлетворяющая однородному уравнению теплопроводности:

(*) utt = a2uxx в G + H принимает наибольшее и наименьшее значения на границе Г (т.е. при х = 0, x = l или t = 0).

Физический смысл: если температура на границе или в начальный момент времени меньше K, то при отсутствии источников тепла, внутри тела не может создаваться температура, большая К.

Доказательство: от противного.

Обозначим М наибольшее значение u(x,t) в G = G + H + Г, а через m - наибольшее значение u(x,t) на Г:

.

Допустим, что существует такое решение u(x,t), для которого M > m, т.е. где не выполняется условие теоремы.

Пусть эта функция принимает значение М в некоторой точке (x0,t0) є G + H; т.е. u(x0,t0) = M.

Замечание: всякая непрерывная функция в замкнутой области достигает своего максимального значения. Достаточным условием существования относительного минимума функции в точке x0 є (0;l ) являются:

a) ;

б) ;

тогда для максимума:

a) ;

б) не может быть f (x0)>0; т.е. .

Сравним знаки левой и правой частей уравнения в точке М, где по предположению u(x,t) достигает максимума: ; так как u(x0,t) достигает максимума при t = t0, то .

Получаем, что в точке (x0,t0): .

Однако, это еще не есть противоречие, так как может быть равно 0.

Для полного доказательства найдем точку (x1,t1), в которой оценка одной из частных производных, входящих в уравнение будет иметь строгое неравенство.

Рассмотрим вспомогательную функцию:

(**)

Функция х(x0,t0) = u(x 0,t0) = M и значит, наибольшее значение х(x,t) в G не меньше, чем М:

Но на границе Г для х(x,t) имеем (на Г max(x - x0)) = l:

(так как m < M).

Следовательно, функция х(x,t) также как и u(x,t) не принимает наибольшего значения на Г. Пусть х(x,t) принимает наибольшее значение в точке (x1,t1) є G (внутренняя точка).

Согласно необходимым условиям максимума в точке (x1,t1) для х(x,t) должно быть: , т.е в точке (x1,t1): .

Тогда в этой же точке для функции u(x,t) из (**):

;

;

Тогда для функции u(x,t) в точке (x1,t1) получаем:

.

т.е. уравнение (*) во внутренней точке (x1,t1)є G не удовлетворяется.

Замечание: при доказательстве изначально мы не требуем, чтобы u(x,t) удовлетворяла уравнению теплопроводности, мы только изучаем ее поведение (max и min) и показываем, что, если максимум u(x,t) достигается внутри G, то u(x,t) - не удовлетворяет уравнению.

Следствие1. Если два решения уравнения теплопроводности u1(x,t) и u2(x,t) удовлетворяют условиям:

; , то

для всех .

Доказательство: пусть х(x,t) = u2(х ,t) - u1(х ,t): f(x,t) = 0, отсюда u max, min;

, отсюда неотрицательный max достигается на границе, тогда в G u(x,t) - неотрицательна, т.е. в G.

Следствие2. Если три решения уравнения теплопроводности щ, u, u, удовлетворяют условиям: при t = 0; x = 0; x = l, то эти неравенства выполняются тождественно, т.е. (x,t) є G.

Доказательство: применяя следствие1 сначала к функциям u(x,t), u(x,t), а затем щ(x,t) и u(x,t) получим требуемые соотношения.

Следствие3. Если для двух решений уравнения теплопроводности u1(х ,t) и u2(х ,t) имеет место:

для t = 0; x = 0; x = l, то тождественно в G.

Доказательство: к функциям:

щ(x,t) = - е

u(x,t) = u1(х ,t) - u2(х ,t)

u(x,t) = е

применим следствие2, тогда получим то, что требовалось доказать.

Это следствие доказывает устойчивость решения 1ой краевой задачи для уравнения теплопроводности.