Принцип экстремума для параболических уравнений и его применение

курсовая работа

§2.Примеры применения принципа максимума в задачах управления процессами

Принцип максимума является основным математическим приемом, используемым при расчете оптимального управления во многих важных задачах математики, техники и экономики.

Принцип максимума применяется к общей задаче управления, имеющей вид

+F(x1, t1),

x= f(x, u, t), x(t0) = x0, x(t1) = x1, {u(t)}U. (1)

уравнение параболический максимум экстремальный

Здесь I(…), F(..) и f(…) - заданные непрерывно дифференцируемые функции, t0, x0 - фиксированные параметры, t1 или x1 - фиксированные параметры (либо с помощью уравнения T(x, t)=0 определяется конченая поверхность). Траектория управления {u(t)} должна принадлежать фиксированному множеству управлений U, причем u(t) - кусочно-непрерывная функция времени, значения которой должны принадлежать некоторому фиксированному множеству , являющемуся непустым компактным подмножеством пространства Er.

Приведем некоторые задачи оптимального управления, которые, благодаря их типичности, часто встречаются во многих учебниках по теории оптимальных процессов. Эти задачи относятся к различным областям человеческой деятельности: технике, экономике, экологии и др. Но в то же время они являются "учебными" и служат, в основном, для иллюстрации некоторых теоретических положений. Очевидно, задачи и модели, представляющие непосредственный практический интерес, должны быть более подробными, глубокими и сложными. Учебные задачи - это первое приближение к реальным практическим задачам, их упрощенный аналог.

Максимизация дальности полета аппарата в атмосфере. Рассматривается летательный аппарат, положение которого описывается следующими параметрами: дальность и высота полета, величина и угол наклона к горизонту вектора скорости. Роль управлений играют угол атаки и функция, отвечающая возможности изменять в полете геометрию крыльев (т.е. их эффективную площадь). Требуется найти такие управляющие функции, которые доставляют максимум дальности полета.

Задача ракетодинамики в однородном поле (задача об оптимальном в смысле расхода топлива движении ракеты в пустоте). Рассматривается управляемый ракетный аппарат, состояние которого задается координатами в трехмерном пространстве, вектором скорости и значением массы. Управление осуществляется выбором направления и абсолютного значения тяги ракеты. Требуется так управлять ракетой, чтобы в фиксированный момент времени она достигла заданной точки, имея определенную скорость и израсходовав минимум топлива (т.е. имея максимально возможную массу).

Задача о максимальной высоте подъема вертикально взлетающей в атмосфере ракеты-зонда. Состояние ракеты задается значениями высоты, скорости и массы. Задача состоит в выборе тяги, которая максимизировала бы высоту подъема при свободной продолжительности полета.

Задача об оптимизации мясозаготовок. На ферме имеется стадо скота. Ежегодно часть стада отправляется на мясозаготовки, причем доход фермы зависит от количества проданного скота. Фазовой переменной выступает количество скота на ферме в конце каждого года после мясозаготовок, управляющим параметром - количество проданного на мясо скота. Требуется определить, каким образом ферма может получить максимальный доход за несколько лет при определенном минимуме ежегодных мясозаготовок и заданном значении поголовья скота на конец планового периода.

Оптимальное распределение ресурсов. Некоторая заданная начальная сумма денег затрачивается на приобретение оборудования двух типов А и В. С помощью этого оборудования организуется производство. Распределяя имеющиеся средства между различными типами оборудования, к концу срока эксплуатации получают определенный экономический эффект. Затем амортизированное оборудование реализуют, а вырученные средства используют как начальную сумму для следующего цикла, и т.д. Требуется найти такую стратегию распределения средств для покупки оборудования типов А и В в каждом цикле, чтобы обеспечить наибольший экономический эффект после фиксированного числа производственно-экономических циклов.

Делись добром ;)