Производная и ее применение в алгебре, геометрии, физике
Признаки существования экстремума
1°. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2д точки х=с:
1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f (c) = 0.
Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с -- Дx:, а правой в виде с+ Дx, где 0< Дx < д. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с -- Дx), а в правой f(c + Дx). Значения f(x) в окрестности 2д точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Дx, причем значение х = с -/+ Дx неограниченно приближается к числу с, если Дx стремится к нулю.
По определению максимума функции:
f(c- Дx)<f(c) и f(c + Дx)<f(c).
Отсюда:
f(c-Дx)-f(c)<0 и f(c + Дx)-f(с)<0.
Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на -- Дx и + Дx. Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:
(f(c --Дx)--f(с))/(-Дx))>0 (1); (f(с + Дx)--f(с)/(+Дx))<0 (2) Оба отношения (1) и (2) имеют один и тот же предел при Дx > 0, так как по условно функция f(x) имеет в точке с определенную произвольную:
Из неравенства (1) следует, что f (с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показы-вает, что f (с) не может быть положительной. Следовательно,
f`(c) = 0,
что и требовалось доказать.
2°. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2д точки x = с:
1) функция f(x) непрерывна,
2) ее производная, f (х), слева от точки х = с по-ложительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.
Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий пре-дел для f(c -- Дx) и f(c+Дx) при Дx > 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 < Дx< д):
Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с -- возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности -- убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения
f(c --Дx) и f(c+Дx)
возрастают при стремлении Дx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1>x2 f(x1)<f(x2)).
Другими словами, как f(c -- Дx), так и f(c+Дx) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения Дx ? 0:
f(c - Дx) < f(c) и f(c + Дx) < f(c).
Но в таком случае f(c) есть максимум функции f(x) в точке х = с.
3°. Так же можно доказать, что если в окрестности 2д точки х = с:
1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f (x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).
4°. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.
Например, функция у = х3 имеет в точке x =0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х3 при всех значениях х, в том числе и при x = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.
5°. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f (х) равна нулю, называются стационарными точками.
Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная состав-ляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).