Прямі методи безумовної мінімізації функцій

курсовая работа

1.4 Унімодальні функції

Якщо функція f(x) на множині U має, крім глобального, локальні мінімуми, відмінні від нього, то мінімізація f(x), як правило, сильно ускладнюється. Зокрема, багато методів пошуку точки мінімуму f(x) пристосовані тільки для функцій, у яких кожен локальний мінімум є одночасно і глобальним. Цією властивістю володіють унімодальні функції.

Функція f(x) називається унімодальною на відрізку [а; b], якщо вона неперервна на [а; b] і існують числа та , , такі, що:

1) якщо а < , то на відрізку [a; ] функція f(x) монотонно спадає;

2) якщо < b, то на відрізку [; b] функція f(x) монотонно зростає;

3) при х [; ]: f(x) =f *= .

Множину унімодальних на відрізку [а; b] функцій ми будемо позначати через Q [а; b]. Зазначимо, що можливе виродження в точку одного або двох відрізків з [a; ], [; ] і [; b]. Деякі випадки розташування і виродження в точку відрізків монотонності та сталості унімодальної функції показані на малюнку 1.

Рисунок 1 - Деякі випадки розташування і виродження в точку відрізків монотонності та сталості унімодальної функції

Основні властивості унімодальних функцій:

1. Будь-яка з точок локального мінімуму унімодальної функції є і точкою її глобального мінімуму на відрізку [а; b].

2. Функція, унімодальна на відрізку [а; b], є унімодальною і на будь-якому меншому відрізку [с; d] [а; b].

3. Нехай f(x) Q [а; b] і , тоді:

якщо, то x*[a; x2] ;

якщо , то x* [x1; b],

де х* - одна з точок мінімуму f(x) на відрізку [a; b].

Делись добром ;)