Р.Т. Галусарьян. Сборник задач и упражнений по курсу "Высшая математика"
Глава 4 Индивидуальные домашние задания
4.1 Индивидуальное домашнее задание (ИДЗ) по теме: “Предел функции и непрерывность”
Задача 1. Найти пределы:
Задача 2. Найти пределы.
2.1. |
2.2. |
|
2.3. |
2.4. |
|
2.5. |
2.6. |
|
2.7. |
2.8. |
|
2.9. |
2.10. |
|
2.11. |
||
2.13. |
||
2.14. |
||
2.15. |
||
2.16. |
||
2.17. |
||
2.18. |
||
2.19. |
||
2.20. 2.21. |
||
2.22. |
||
2.23. |
||
2.25. |
||
2.26. 2.27. |
||
2.28. |
||
2.29. |
||
2.30. |
Задача 3. Доказать непрерывность функции f(x) в точке x0.
3.1. f(x)=6-x2, x0=2 |
3.2. f(x)=3x2-2, x0=-2 |
|
3.3. f(x)=-2x2-3, x0=3 |
3.4. f(x)=2x2+5, x0=-3 |
|
3.5. f(x)=5x2-1, x0=4 |
3.6. f(x)=2-3x2, x0=4 |
|
3.7. f(x)=4x2-3, x0=-1 |
3.8. f(x)=4x2+5, x0=2 |
|
3.9. f(x)=x2+7, x0=-3 |
3.10. f(x)=7-2x2, x0=3 |
|
3.11. f(x)=-2x2-7, x0=2 |
3.12. f(x)=3x2+2, x0=4 |
|
3.13. f (x)=5x2+3, x0=-2 |
3.14. f(x)=4x2-1, x0=-3 |
|
3.15. f(x)=7x2-1, x0=4 |
3.16. f(x)=-8x2-1, x0=1 |
|
3.17. f(x)=2x2+11, x0=5 |
3.18. f(x)=10x2-3, x0=5 |
|
3.19. f(x)=13-2x2, x0=3 |
3.20. f(x)=3-10x2, x0=4 |
|
3.21. f(x)=4x2-11, x0=-2 |
3.22. f(x)=1-5x2, x0=2 |
|
3.23. f(x)=3-4x2, x0=1 |
3.24. f(x)=-7-x2, x0=1 |
|
3.25. f(x)=x2-6, x0=3 |
3.26. f(x)=9-5x2, x0=-2 |
|
3.27. f(x)=7-5x2, x0=-2 |
3.28. f(x)=-2x2-1, x0=3 |
|
3.29. f(x)=11-3x2, x0=2 |
3.30. f(x)=4x2-15, x0=-1 |
Задача 4. Найти пределы разложением на множители и по правилу Лопиталя.
4.1. |
4.2. |
|
4.3. |
4.4. |
|
4.5. |
4.6. |
|
4.7. |
4.8. |
|
4.9. |
4.10. |
|
4.11. |
4.12. |
|
4.13. |
4.14. |
|
4.15. |
4.16. |
|
4.17. |
4.18. |
|
4.19. |
4.20. |
|
4.21. |
4.22. |
|
4.23. |
4.24. |
|
4.25. |
4.26. |
|
4.27. |
4.28. |
|
4.29. |
4.30. |
Задача 5. Найти пределы, используя метод освобождения от иррациональности.
5.1. |
5.2. |
|
5.3. |
5.4. |
|
5.5. |
5.6. |
|
5.7. |
5.8. |
|
5.9. |
5.10. |
|
5.11. |
5.12. |
|
5.13. |
5.14. |
|
5.15. |
5.16. |
|
5.17. |
5.18. |
|
5.19. |
5.20. |
|
5.21. |
||
5.22. |
5.23. |
|
5.24. |
5.25. |
|
5.26. |
5.27. |
|
5.28. |
5.29. |
|
5.30. |
Задача 6. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно-малые.
6.1. |
6.2. |
|
6.3. |
6.4. |
|
6.5. |
6.6. |
|
6.7. |
6.8. |
|
6.9. |
6.10. |
|
6.11. |
6.12. |
|
6.13. |
6.14. |
|
6.15. |
6.16. |
|
6.17. |
6.18. |
|
6.19. |
6.20. |
|
6.21. |
6.22. |
|
6.23. |
6.24. |
|
6.25. |
6.26. |
|
6.27. |
6.28. |
|
6.29. |
6.30. |
Задача 7. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
7.1. |
7.2. |
|
7.3. |
7.4. |
|
7.5. |
7.6. |
|
7.7. |
7.8. |
|
7.9. |
7.10. |
|
7.11. |
7.12. |
|
7.13. |
7.14. |
|
7.15. |
7.16. |
|
7.17. |
7.18. |
|
7.19. |
7.20. |
|
7.21. |
7.22. |
|
7.23. |
7.24. |
|
7.25. |
7.26. |
|
7.27. |
7.28. |
|
7.29. |
7.30. |
Задача 8. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые.
8.1. |
8.2. |
|
8.3. |
8.4. |
|
8.5. |
8.6. |
|
8.7. |
8.8. |
|
8.9. |
8.10. |
|
8.11. |
8.12. |
|
8.13. |
8.14. |
|
8.15. |
8.16. |
|
8.17. |
8.18. |
|
8.19. |
8.20. |
|
8.21. |
8.22. |
|
8.23. |
8.24. |
|
8.25. |
8.26. |
|
8.27. |
8.28. |
|
8.29. |
8.30. |
Задача 9. Используя формулы второго замечательного предела и его следствий, найти пределы функций.
9.1. |
9.2. |
|
9.3. |
9.4. |
|
9.5. |
9.6. |
|
9.7. |
9.8. |
|
9.9. |
9.10. |
|
9.11 |
9.12. |
|
9.13. |
9.14. |
|
9.15. |
9.16. |
|
9.17. |
9.18. |
|
9.19. |
9.20. |
|
9.21. |
9.22. |
|
9.23. |
9.24. |
|
9.25. (a, b>0) |
9.26. |
|
9.27. |
9.28. |
|
9.29. |
9.30. |
Задача 10. Используя правило Лопиталя и эквивалентность, найти следующие пределы.
10.1. a) |
б) |
|
10.2. а) |
б) |
|
10.3. а) |
б) |
|
10.4. а) |
б) |
|
10.5. а) |
б) |
|
10.6. а) |
б) |
|
10.7. а) |
б) |
|
10.8. а) |
б) |
|
10.9. а) |
б) |
|
10.10. а) |
б) |
|
10.11. а) |
б) |
|
10.12. а) |
б) |
|
10.13. |
б) |
|
10.14. |
б) |
|
10.15. а) |
б) |
|
10.16. а) |
б) |
|
10.17. а) |
б) |
|
10.18. а) |
б) |
|
10.19. а) |
б) |
|
10.20. а) |
б) |
|
10.21. а) |
б) |
|
10.22. а) |
б) |
|
10.23. а) |
б) |
|
10.24. а) |
б) |
|
10.25. а) |
б) |
|
10.26. а) |
б) |
|
10.27. а) |
б) |
|
10.28. а) |
б) |
|
10.29. |
б) |
|
10.30. |
б) |
Задача 11. Применяя формулу Тейлора, вычислить пределы.
11.1 |
11.2. |
|
11.3. |
11.4. |
|
11.5. |
11.6. |
|
11.7. |
11.8. |
|
11.9. |
11.10. |
|
11.11. |
11.12. |
|
11.13. |
11.14. |
|
11.15. |
11.16. |
|
11.17. |
11.18. |
|
11.19. |
11.20 |
|
11.21. |
11.22. |
|
11.23. |
11.24. |
|
11.25. |
11.26. |
|
11.27. |
11.28. |
|
11.29. |
11.30. |
Задача 12. Найти точки разрыва, уравнения асимптот и построить схематично график функции.
12.1. а) |
б) |
|
12.2. а) |
б) |
|
12.3. а) |
б) |
|
12.4. а) |
б) |
|
12.5. а) |
б) |
|
12.6. а) |
б) |
|
12.7. а) |
б) |
|
12.8. а) |
б) |
|
12.9. а) |
б) |
|
12.10. а) |
б) |
|
12.11. а) |
б) |
|
12.12. а) |
б) |
|
12.13. а) |
б) |
|
12.14. а) |
б) |
|
12.15. а) |
б) |
|
12.16. а) |
б) |
|
12.17. а) |
б) |
|
12.18. а) |
б) |
|
12.19. а) |
б) |
|
12.20 .а) |
б) |
|
12.21. а) |
б) |
|
12.22. а) |
б) |
|
12.23. а) |
б) |
|
12.24. а) |
б) |
|
12.25. а) |
б) |
|
12.26. а) |
б) |
|
12.27. а) |
б) |
|
12.28. а) |
б) |
|
12.29. а) |
б) |
|
12.30. а) |
б) |
§ 4.2 Индивидуальное домашнее задание по теме: «Производная и ее применение»
Задача 1. Найти первую производную функции:
Задача 2. Найти первую производную функции:
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8
2.9. 2.10.
2.11. 2.12.
2.13. 2.14.
2.15. 2.16.
2.17. 2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
2.29.
2.30.
Задача 3. Найти первую производную функции:
3.1. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. 3.8.
3.9. 3.10. 3.11. 3.12.
3.13. 3.14.
3.15. 3.16.
3.17. 3.18.
3.19. 3.20.
3.21. 3.22.
3.23. 3.24.
3.25. 3.26.
3.27. 3.28.
3.29. 3.30.
Задача 4. Найти первую производную функции:
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7. 4.8.
4.9. 4.10.
4.11. 4.12.
4.13. 4.14.
4.15. 4.16.
4.17. 4.18.
4.19. 4.20.
4.21. 4.22.
4.23. 4.24.
4.25. 4.26.
4.27. 4.28.
4.29. 4.30.
Задача 5. Найти первую производную функции:
5.1. 5.2.
5.3 5.4.
5.5. 5.6.
5.7. 5.8.
5.9. 5.10.
5.11. 5.12.
5.13. 5.14.
5.15. 5.16.
5.17. 5.18.
5.19. 5.20.
5.21. 5.22.
5.23 5.24.
5.25. 5.26.
5.27. 5.28.
5.29. 5.30.
Задача 6. Найти первую производную функции:
6.1. 6.2.
6.3. 6.4.
6.5. 6.6.
6.7. 6.8.
6.9. 6.10.
6.11. 6.12.
6.13. 6.14.
6.15. 6.16.
6.17. 6.18.
6.19. 6.20.
6.21. 6.22.
6.23. 6.24.
6.25. 6.26.
6.27. 6.28.
6.29. 6.30.
Задача 7. Найти п-ую производную функции:
7.1.
7.11.
7.12.
7.13.
7.14.
7.16.
7.17.
7.19.
7.20.
7.22.
7.24.
7.25.
7.26.
7.28.
7.29.
7.30.
Задача 8. С помощью формулы Лейбница найти указанную производную данной функции:
8.4.
8.5.
8.6.
8.7.
8.8.
8.9.
8.10.
8.11.
8.12.
8.13.
8.14.
8.15.
8.16.
8.17.
8.18.
8.19.
8.20.
8.21.
8.22.
8.23.
8.24.
8.25.
8.26.
8.27.
8.28.
8.29.
8.30.
Задача 9. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной неявно:
9.1. 9.2.
9.3. 9.4.
9.5. 9.6.
9.7. 9.8.
9.9. 9.10.
9.11. 9.12.
9.13. 9.14.
9.15. 9.16.
9.17. 9.18.
9.19. 9.20.
9.21. 9.22.
9.23. 9.24.
9.25. 9.26.
9.27. 9.28.
9.29. 9.30.
Задача 10. Найти первую и вторую производные от функции у(х), заданной параметрически:
10.1. 10.2.
10.3. 10.4.
10.5. 10.6.
10.7. 10.8.
10.9. 10.10.
10.11. 10.12.
10.13. 10.14.
10.15. 10.16.
10.17. 10.18.
10.19. 10.20.
10.21. 10.22.
10.23. 10.24.
10.25. 10.26.
10.27. 10.28.
10.29. 10.30.
Задача 11. Используя геометрический смысл производной, решить следующую задачу:
11.1 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=4х - х2, равна квадрату абсциссы точки касания.
11.2 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1 - х2/4, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.3 Через произвольную точку кривой ху = 4 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.4 Через произвольную точку кривой ху = х+2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 1 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.5 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 2/(1 - х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 1.
11.6 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=3хlnx+5x, равна утроенной абсциссе точки касания.
11.7 Через произвольную точку кривой у = а х3 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 2/3 абсциссы точки касания.
11.8 Через произвольную точку кривой у=х2 + 2/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 3.
11.9 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=5х -2 х2, равна удвоенному квадрату абсциссы точки касания.
11.10 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у= х2/2 - 1/2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.11 Через произвольную точку кривой ху = 2 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.12 Через произвольную точку кривой ху=2х+3 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую у = 2 в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.13 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой , ординатой точки касания и осью абсцисс равна 2.
11.14 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой , равна удвоенной абсциссе точки касания.
11.15 Через произвольную точку кривой у = 3х4 проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 3/4 абсциссы точки касания.
11.16 Через произвольную точку кривой у = х2 + 18/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 27.
11.17 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у= -3х2-1, равна утроенному квадрату абсциссы точки касания.
11.18 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой у=1/8 - 2х2, равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.19 Через произвольную точку кривой ху = 8 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.20 Через произвольную точку кривой проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.21 Доказать, что площадь треугольника, образованного касательной к кривой у = 8/(2 - х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 4.
11.22 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=хlnx+9x, равна абсциссе точки касания.
11.23 Через произвольную точку кривой проведена касательная. Доказать, что абсцисса точки пересечения касательной с осью абсцисс равна 4/5 абсциссы точки касания.
11.24 Через произвольную точку кривой у=3х2 + 8/х проведена касательная. Доказать, что площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и перпендикуляром, опущенным из точки касания на ось абсцисс, равна 12.
11.25 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у = 3х - х2/2 равна половине квадрата абсциссы точки касания.
11.26 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведенной в любой точке кривой , равна расстоянию от точки касания до начала координат.
11.27 Через произвольную точку кривой ху = 12 проведена касательная. Доказать, что отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.
11.28 Через произвольную точку кривой ху+4х=2 проведена касательная. Доказать, что касательная пересекает прямую в точке с абсциссой, равной удвоенной абсциссе точки касания.
11.29 Доказать, что площадь треугольника, образованного между касательной к кривой у = 10/(4 - х),ординатой точки касания и осью абсцисс равна 5.
11.30 Доказать, что длина отрезка, отсекаемого на оси ординат касательной в любой точке кривой у=0,5хlnx+2x, равна половине абсциссе точки касания.
Задача 12. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке:
12.1. 12.2.
12.3.
12.4.
12.5.
12.6.
12.7.
12.8.
12.9.
12.10.
12.11.
12.12.
12.13.
12.14.
12.15.
12.16 12.17.
12.18.
12.19.
12.20.
12.21.
12.22.
12.23.
12.24.
12.25.
12.26.
12.27.
12.28.
12.29.
12.30.
Задача 13. Исследовать функцию и построить график:
13.1. а) , б)
13.2. а) , б)
13.3. а) , б)
13.4. а) , б)
13.5. а) , б)
13.6. а) , б)
13.7. а) , б)
13.8 а) , б)
13.9. а) , б)
13.10. а) , б)
13.11. а) , б)
13.12. а) , б)
13.13. а) , б)
13.14. а) , б)
13.15. а) , б)
13.16. а) , б)
13.17. а) , б)
13.18. а) , б)
13.19. а) , б)
13.20. а) , б)
13.21. а) , б)
13.22. а) , б)
13.23. а) , б)
13.24. а) , б)
13.25. а) , б)
13.26. а) , б)
13.27. а) , б)
13.28. а) , б)
13.29. а) , б)
13.30. а) , б)
Глава 5. Семинарские занятия
§ 5.1 Cеминар: Применение производной при исследовании функции
Основные вопросы
1. Признаки монотонности функции.
2.Необходимое условие существования экстремума.
3. Критические точки на экстремум.
4. Достаточные условия существования экстремума.
5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
6. Выпуклость и вогнутость графика функции.
7. Точки, критические на перегиб.
8. Необходимое и достаточное условия существования перегиба.
9. Асимптоты графика функции.
Задания для семинара
№1 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) , б) ,
в) , г) .
№2 При каких а функции монотонны всюду:
а), б) .
№3 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) , б) ,
в) , г) .
№4 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной точке хо:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
№5 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) , б) .
№6 Определить выпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:
а) ,
б) .
№7 Найти асимптоты и построить график: а) ,
б) .
№8 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а) , б) .
Задания для самостоятельной работы
№9 Доказать монотонность функции на всей числовой оси:
а) , б) , в) .
№10 При каких а функции монотонны всюду:
а), б) .
№11 Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:
а) , б) ,
в) .
№12 С помощью 2-го достаточного условия существования экстремума исследовать поведение функции в указанной точке хо:
а) ,
б) ,
в) ,
г) .
№ 13 Найти экстремумы, точки перегиба. Построить график.
а) , б) .
№ 14 Определить выпуклость или вогнутость графика функции в окрестности указанных точек:
а) ,
б) .
№ 15 Найти асимптоты и построить график:
а) , б) .
№16 Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке:
а), б) .