Равновеликие и равносоставленные многоугольники и многограники

курсовая работа

2.3 Теорема Дена-Кагана

Под весом элементарного отрезка или звена мы будем понимать произведение из его массы на аргумент. Под весом нескольких отрезков или звеньев мы будем понимать сумму весов этих отрезков или звеньев. Под весом скелета мы будем понимать сумму весов всех его звеньев.

Мы имеем два больших многогранника составленных из одних и тех же малых многогранников.

Основная теорема: Если два многогранника составлены из одних и тех же составляющих многогранников, то скелеты обоих разложений имеют один и тот же вес.

Доказательство: Чтобы доказать эту теорему, мы покажем предварительно, что вес каждого звена в скелете равна сумме весов всех прилегающих к нему элементарных отрезков.

Возьмем звено АВ на рис. 17, к нему прилегают четыре отрезка АВ на ребрах четырех составляющих многогранников. На ребре правой пирамиды отрезок АВ состоит из четырех элементарных отрезков с массами и общим аргументом . Поэтому сумма весов этих элементарных отрезков равна:

,

где М есть масса звена АВ. Точно так же сумма весов всех элементарных отрезков, прилегающих к звену АВ и лежащих на ребре передней призмы, равна:

.

Сумма весов элементарных отрезков, прилегающих к тому же звену со стороны левой пирамиды, равна , а сумма весов элементарных отрезков, прилегающих к АВ со стороны задней призмы равна .

Таким образом, сумма всех весов элементарных отрезков, прилегающих к звену АВ, равна: , где М есть масса звена, а сумма равна 4d, т.е. аргумент звена. Правая часть последнего равенства представляет вес звена. Если вес звена равняется сумме весов всех прилегающих к нему элементарных отрезков, то вес всего скелета равен сумме весов всех элементарных отрезков этого разложения. С другой стороны, элементарные отрезки в обоих разложениях одни и те же, так как они определяются совокупностью двух разложений, при этом каждый элементарный отрезок имеет в обоих разложениях одну и ту же массу, один и тот же аргумент и, следовательно, один и тот же вес. Отсюда следует, что вес обоих скелетов может быть представлены в виде суммы одинаковых слагаемых, а потому вес первого скелета и второго равны.

Делись добром ;)