1.2 Методы решения кубических уравнений

Наиболее распространенный метод решения кубических уравнений - метод перебора.

Сначала путём перебора найдём один из корней уравнения. Дело в том, что кубические уравнения всегда имеют по крайней мере один действительный корень, причем целый корень кубического уравнения с целыми коэффициентами является делителем свободного члена d. Коэффициенты этих уравнений обычно подобраны так, что искомый корень лежит среди небольших целых чисел, таких как: 0, ± 1, ± 2, ± 3. Поэтому мы будем искать корень среди этих чисел и проверять его путём подстановки в уравнение. Вероятность успеха при таком подходе очень высока. Предположим, что этот корень .

Вторая стадия решения - это деление многочлена на двучлен x - x1. Согласно теореме Безу это деление без остатка возможно, и мы получим в результате многочлен второй степени, который надо приравнять к нулю. Решая полученное квадратное уравнение, мы найдём (или нет) оставшиеся два корня.

Решение двучленного кубического уравнения

Двучленное кубическое уравнение имеет вид (2)

Это уравнение приводится к виду делением на коэффициент A, отличный от нуля. Далее применяется формула сокращенного умножения сумма кубов:

Из первой скобки находим , а квадратный трехчлен имеет лишь комплексные корни.

Возвратные кубические уравнения

Возвратное кубическое уравнение имеет вид

A и B -коэффициенты.

Проведем группировку:

Очевидно, что x=-1 является корнем такого уравнения, а корни полученного квадратного трехчлена легко находятся через дискриминант.