2. Решение задач

Пример 1. Найти действительные корни кубического уравнения

Решение:

Применяем формулу сокращенного умножения разность кубов:

Из первой скобки находим , квадратный трехчлен во второй скобке не имеет действительных корней, так как дискриминант отрицателен.

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение:

Это уравнение возвратное. Проведем группировку:

 является корнем уравнения. Находим корни квадратного трехчлена

Пример 3. Найти корни кубического уравнения

Решение:

Преобразуем уравнение к приведенному: домножим на обе части и проведем замену переменной .

Свободный член равен 36. Запишем все его делители:

Подставляем их по очереди в равенство до получения тождества:

Таким образом, является корнем. Ему соответствует

Разделим на , используя схему Горнера.

Получаем

Найдем корни квадратного трехчлена :

Очевидно, что , то есть его кратным корнем является .

Ответ: .

Пример 4.Найти действительные корни уравнения

Решение:

является корнем уравнения. Найдем корни квадратного трехчлена .

Так как дискриминант меньше нуля, то действительных корней трехчлен не имеет.

Ответ:

Пример 5. Найти корни кубического уравнения 2.

Решение:

Имеем .

Находим

Следовательно,

Подставляем в формулу Кардано:

принимает три значения. Запишем их.

При имеем

При имеем

При имеем

Разобьем эти значения по парам, которые в произведении дают

Первая пара значений и

Вторая пара значений и

Третья пара значений и

Возвращаемся к формуле Кардано

Таким образом,