Различные подходы к определению тригонометрических функций

дипломная работа

1.3.2 Тригонометрия в трудах европейских учёных

Обзор развития тригонометрии в Европейских странах, где в XVв., начался новый период истории этой науки, следует начать с трудов западно-арабских учёных, которые были посредниками в передаче достижений математиков и астрономов Ближнего и Среднего Востока на «Латинский» Запад. Их собственные результаты явились важным элементом научной традиции, которая легла в основу европейской тригонометрии в последующие века.

В X в. Маслама ибн Ахмад ал-Маджрити (ум. 1008 г.) и его современник Ахмад ибн ал-Мусанна ибн Абд-ал-Карим составили комментарии к зиджу ал-Хорезми. Первый из них, кроме того, был автором комментариев к зиджу ал-Батанни. Таким образом, благодаря трудам этих учёных в то время в Испании стали общедоступными сведения по тригонометрии, которыми располагали астрономы Ближнего и Среднего Востока.

В XI в. значительный вклад в тригонометрию сделал один из знаменитых астрономов своего времени Ибрахим ибн Йахйа ан-Наккаш ибн аз-Заркала, известный как аз-Заркали (ок. 1030 - 1099 гг.). Он прославился как знаток «Альмагеста» и критик теории Птолемея. Под руководством аз-Заркали был составлен коллективный труд - «Толеданский зидж», получивший впоследствии широкое распространение в латинских переводах. В нем содержатся, в частности, таблицы синусов при радиусе, равном 150, и описан индийский метод их вычисления; приведены также таблицы восхождений, вычисленные для различных широт по индийскому методу и методу Птолемея.

Для развития тригонометрии, как и других отраслей математики, в европейских странах решающее значение имела широко развернувшаяся в XII в. деятельность переводчиков научной литературы с арабского языка на латинский.

Прославленная школа переводчиков действовала между ИЗО и 1150 гг. в Толедо, отвоеванном в 1085 г. Испанцами; покровителем ее был великий канцлер Кастилии архиепископ Раймундо. Выдающимся представителем школы переводчиков был Герардо Кремонский (1114--1187 гг.), которому принадлежало свыше 70 переводов произведений античных и восточных авторов, в том числе ал-Хорезми, ал-Фаргани и др. в Толедо также работали Иоанн Севильский, Доминго Гонзалец (Доминико Гундисальви) и другие учёные, переводившие математические и астрономические сочинения.

Важную роль в распространении в Европе достижений восточных ученых сыграли видные переводчики XII в. Роберт из Честера и Герман из Каринтии (известным также под именем Германа Второго или Славянина), поддерживающие между собой тесную связь.

Среди первых астрономических сочинений, переведённых с арабского языка, были «Альмагест» и ряд зиджей, в основе которых лежали труд Птолемея и индийские сиддханты.

К числу первых зиджей, появившихся в латинском переводе, относится зидж ал-Хорезми. Он стал известен в XII в. в двух версиях - ал- Маджрити и Ибн Мусанны. Первую из них перевел Аделард из Бата, и этот перевод получил наибольшее распространение. Версия ал- Маджрити представляет собой переработку оригинала, причем, видимо, значительную. Современник ал-Маджрити писал: «Он занимался обработкой таблиц ал-Хорезми; он перевел его персидское летосчисление в арабское и определил средние положения планет для начала хиджры; он добавил к сочинению еще другие прекрасные таблицы, но точно ему следуя и не обращая внимания на ошибки в его труде». Таким образом, ясно, что не все таблицы в версии ал-Маджрити принадлежат ал-Хорезми, но какие именно, установить трудно.

Вторая версия зиджа ал-Хорезми, принадлежащая Ибн Мусанны, была переведена в XII в. с арабского языка дважды.в настоящее время оба перевода хорошо изучены. Ибн Мусанна по-иному, в сравнении с ал-Маджрити, изложил содержание зиджа ал-Хорезми, построив свое сочинение в форме вопросов и ответов. Он пытался с помощью правил Птолемея объяснить индийские астрономические методы, которые применялись в зидже, но не всегда успешно.

В 1983 г. Тригонометрические разделы обеих версий зиджа ал- Хорезми, оказавших столь большое влияние на развитие математики и астрономии в Европе, были опубликованы на русском языке в томе математических трактатов ал-Хорезми.

В XII веке были переведены и другие арабские сочинения в переводе Герардо Кремонского, в которых содержались сведения по тригонометрии. Позднее стали появляться труды европейских учёных, базировавшихся на арабской версии «Альмагеста», зиджах и переводах тригонометрических трактатов. Важное место среди них занимают «Альфонсинские таблицы», составленные на испанском языке в 1262--1272 гг. в Толедо под покровительством короля Кастилии Альфонсо X, прозванного Мудрым. Эта работа была выполнена группой христианских и еврейских учёных. «Альфонсинские таблицы», носивший чисто компилятивный характер, в значительной мере основывались на зидже аз-Заркале. Вплоть до XVIb. они служили главным источником астрономических познаний и основой всех вычислений, связанных с астрономией. Помимо географических и хронологических таблиц, таблиц видимых движений Солнца, Луны и планет т.п., сочинение содержало тригонометрический раздел, включавший таблицы синусов и тангенсов; последние были составлены для гномона, равного 12 «пальцам».

С XIII в. в разных концах Европы начинают появляться самостоятельные сочинения по математике и астрономии, в которых значительное место занимало изложение начал тригонометрии и приводились тригонометрические таблицы. К ним относятся «Практика геометрии» выдающегося ученого XIII в. Леонардо Пизанского (ок. 1170 - 1250 гг.), труды Джованни Кампано (XIII в.), Жана Линерииса (ок. 1322 г.), Николая Кузанского (конец XIV в.) и др. в этих трудах обобщались сведения по тригонометрии, полученные из арабских источников, разъяснялись правила пользования тригонометрическими таблицами.

Чаще всего приводились таблицы синусов и вскоре были сделаны попытки уточнить их. Но уже Дж. Кампано составил таблицу тангенсов (Tabula foecunda) для значений аргумента от 0 до 45° через 1°.

В XIV в. тригонометрия постепенно стала учебным предметом, заняв прочное место среди университетских курсов. Так, а Парижском университете лекции по тригонометрии читал Жан Линериис, который вычислил таблицы синусов через - приняв диаметр круга за 120, и излагал элементы сферической тригонометрии. Работавший там же Жан де Мер составил таблицы синусов, основываясь на зидже аз- Заркали.

Особое внимание привлекла тригонометрия в Венском университете, сыгравшем важную роль в развитии математики в Европе. Здесь работал Иоганн из Гмундена (ок. 1380 - 1442 гг.), который прославился своими лекциями. Его «Трактат о синусах, хордах и дугах», написанный в 1437 г.,- это хороший учебник по тригонометрии для своего времени, в котором разъясняются методы вычисления таблиц синусов по аз-Заркали и Птолемею. Сочинение дало толчок к составлению новых, более точных тригонометрических таблиц.

Первым завершенным курсом тригонометрии явилось сочинение Региомонтана «О видах треугольников пять книг». Трактат состоит из пяти книг. В 1 определены основные математические понятия и доказаны 57 предложений о тригонометрических функциях (синусе и косинусе), о плоских треугольниках и их решении с применением синуса. В частности, решается задача о нахождении углов треугольника по трем сторонам. Косоугольные треугольнике Региомонтан решает, сведя их к прямоугольным. Книга 2, в которой излагается общая теория треугольников, начинается с доказательства плоской теоремы синусов,

используемой при доказательстве других теорем. Книги 3-5 посвящены сферической геометрии.

Дальнейшая история плоской и сферической тригонометрии в XVI - XVII вв. связана с именами Франческо Мавролико, Христофа Клавия, Франсуа Виета, Адриана ванн Роумена, Бартоломея Питиска и др.

1.4 Развитие тригонометрии в работах европейских учёных XVIII -

XIX веков

Зидж ал-Хорезми в версии ал-Маджрити и в латинском переводе Аделарда из Бата послужил одним из краеугольных камней европейской астрономии в средние века. Известны четыре его рукописи, которые привлекли внимание историков науки в середине XIX в. На основе их изучения А. Бьёрнбо и Р. Бестгорном был подготовлен к печати текст сочинения, который в 1914 г. Издал Г. Зутер со своими комментариями.

А.Бьёрнбо изучил тригонометрические таблицы ал-Хорезми и впервые показал их роль в истории тригонометрии. Он рассмотрел описанные ал-Хорезми правила определения синуса по дуге и обратно с помощью таблицы синусов и указал, что это - первая таблица такого рода в арабоязычной литературе; в качестве угловой еденицы здесь служил «знак Зодиака», равный окружности круга, т.е., а значение синусов даны в частях радиуса, который принят равный 60, и выражены в шестидесятиричных дробях. Особое внимание А.Бьёрнбо уделил правилам нахождения «обращённого синуса», а также методом определения «прямой тени» (т.е.котангенса) некоторого тела по высоте Солнца, высоты Солнца по тени, отбрасываемой телом, и «обращённой тени» (т.е.тангенса) по высоте Солнца. Исследователь пришёл к выводу, что значение для таблицы синусов были взяты у Птолемея, и что, возможно, в оригинале имелось также таблица арксинусов. Что касается таблицы тангенсов, то он отметил, что, они также являются первыми в литературе на арабском языке.

До сих пор тригонометрия формировалась и развивалась под определяющим влиянием астрономии. Положение в этом смысле мало изменилось даже тогда, когда самостоятельное существование тригонометрии стало общепризнанным фактом. Новое обогащение содержания тригонометрии происходило как часть истории математического анализа. И когда после первых ошеломляющих открытий понадобилось привести в систему математический анализ, пришлось сделать то же и с тригонометрическими функциями. Эта работа, её результаты нашли своё отчётливое выражение в трудах Л.Эйлера. Теорию тригонометрических функций Эйлер изложил в 8 -й главе 1-го тома своей книги « Введение в анализ бесконечных» (1748г., на русском языке изданного 1961г.). Тем самым он завершил более или менее успешные попытки своих ближайших предшественников.

Эйлер ввёл близкую к привычной нам символику, полностью разъяснил вопрос о знаках всех тригонометрических функций любого аргумента. Эти функции он рассматривал как безразмерные числа, называя их общим термином «трансцендентные количества, получающиеся из круга».

Ход рассуждения Эйлера был примерно таков.

1. С помощью формул приведения для sin (k+z) и cos (к +z) при целых k выясняется вопрос о знаках тригонометрических функций любых дуг.

2. На основе теорем о синусах и косинусах суммы и разности аргументов выводится формула Муавра дня натурального показателя степени (cos z ± i sin z)n = cos nz ± i sin nz.

3. Из этой формулы выводятся следующие:

4.

;

;

а далее формулы

4. Полагая в полученных таким образом формулах n бесконечно большим, z бесконечно малым, налагая условие, что nz = v, т.е. конечное, а также что в этих предположениях cos z = 1, sin z = z = , Эйлер получает разложения:


Тем самым был сделан важный шаг. Дело в том, что предшественники Эйлера неизменно связывали понимания тригонометрических функций с образами линий в круге некоторого радиуса, называя его «полным синусом». Теперь же тригонометрические функции составили просто некоторый класс аналитических функций как действительных, так и комплексных аргументов, что было проделано с характерной для того времени смелостью и оправдывалось на первых порах только правильностью и полезностью достигаемых при этом результатов.

Вскоре, в 1770г., появилось и удержавшееся до наших дней название тригонометрические функции. Его ввёл Г.С.Клюгель (1739 - 1812 гг.) в работе «Аналитическая тригонометрия» (1770 г.).

В то же примерно время (т.е.во второй половине XVIIIв.). Построение общей системы тригонометрических и примыкающих к ним знаний развивалось и несколько в ином направлении. И.Г.Ламберт (1728 - 1777гг.) в «Очерках об употреблении математики и её приложений» (1770г.). Провёл обобщение тригонометрии на четырёхугольнике, создав таким образом тетрогонометрию. Ещё через несколько лет, в 1774 - 1776гг., в работах А.И.Лекселя (1741 - 1784гг.). Было произведено дальнейшее обобщение и построено полигонометрия. Рассматривая n-угольник со сторонами аь а2,...,ап и углами ць ц2,..., цп между продолжениями сторон и предыдущими сторонами,

Лексель получил соотношения

Суммы в левых частях приведённых равенств эквиваленты суммам векторов, направленных по сторонам многоугольников. Из этих формул, справедливых и не для невыпуклых, и для самопересекающихся многоугольников, в работах Лекселя выведены основные формулы тригонометрии и тетрагонометрии. Затем он распространил теорию на 5, 6, 7, - угольники и решил ряд задач на исследование п - угольников, исходя из заданных диагоналей и углов этих диагоналей со сторонами.

Результаты Лекселя были существенно дополнены С. Люилье (1750 - 1840гг.) в книге «Полигонометрия, или об измерении прямолинейных фигур (1789г.) ». Основную роль в исследования Люилье играла выражение для площади многоугольника, которую он вычислял так: откинув одну из n сторон, он составил все парные произведения остальных n - 1 сторон на синусы углов между этими сторонами и, складывая полученные произведений, нашёл удвоенную

площадь многоугольника. Исходя из формулы, Люилье получил все формулы полигонометрии, в том числе и формулы Лекселя.

Наконец, Люилье обобщил и эти результаты на пространственные случаи и, развивая работы Эйлера о многогранниках, создал в (1799 - 1805 гг.) полиэдрометрию - учение об измерении многогранников (полиэдров), описав её в работе «теоремы полиэдрометрии». Основной теоремой является следующая: «Площадь каждой грани многогранника равна сумме произведений площадей остальных граней на косинусы углов, образуемых ими с этой гранью».

Таким образом, к XIX веку тригонометрия приобрела разнообразные интерпретации, не теряя своей теоретической целостности, а наращивая её.

Глава 2.Различные подходы к введению тригонометрических

функций

2.1 Введение тригонометрических функций на уроках алгебры и

начал анализа по учебнику А. Г. Мордковича

Делись добром ;)