Различные подходы к определению тригонометрических функций
2.1.1 Понятие числовой окружности на координатной плоскости
В 5 главе учебника автор, вводя элементы теории тригонометрических функций, говорит, что «для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель -- числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались». Для этого он вспоминает понятие числовой прямой, рассматривает некоторые примеры, связанные с ней, и говорит: «…в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности. Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью… в математике условились использовать для этой цели единичную окружность -- окружность с радиусом 1. Это будет наша беговая дорожка». Таким образом, автор подводит учеников к понятию Числовая окружность.
Для начала автор предусматрительно объясняет:
рис 8
Длина L окружности с радиусом R вычисляется по формуле
L = 2рR, где р ~ 3,14.
Если R = 1, то L = 2р ~ 6,28. Длина половины окружности равна п, а длина четверти окружности -- АВ, ВС, CD, DA на рис. 8 равна . Условимся называть дугу АВ первой четвертью единичной окружности, дугу ВС -- второй четвертью, дугу CD -- третьей четвертью, дугу DA -- четвертой четвертью.
При этом обычно речь идет об открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).
Определение: Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А- правый конец горизонтального диаметра (рис.8). Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:
1) если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной t; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);
2) если t < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной |t|; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = M(t);
3) числу t = 0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).
Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой
окружностью.
Затем автор показывает положение точек на окружности:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
рис 9 рис 10
И объясняет причину такого расположения: «…длина единичной окружности равна 2р, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа р.»
Для понимания учащимися понятия числа на окружности не , а, например, числа 1, автор дает легкое и понятное объяснение: «… можно ли найти на единичной окружности такую точку, что длина дуги будет равна 1? Давайте прикинем:
р = 3,14; , ,
Таким образом,…»
Далее автор разъясняет основные фундаментальные понятия этой темы.
Итак, на числовой окружности, как и на числовой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение. Если точка М числовой окружности соответствует числу t, то она соответствует и числу вида t + 2рk, где k -- любое целое число (k Z). В самом деле, 2р -- длина числовой (единичной) окружности, а целое число |k| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, k = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если k = -7, то это значит, что мы делаем семь (| k | = | -7| = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке M(t), то, выполнив еще | k | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М. Итак,
M(t)= M(T+2рk)
Перейдем непосредственно к понятию числовой окружности на координатной плоскости, представленную в данном учебнике.
Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат ХОУ так, как показано на рис. 11:
центр окружности совмещен с началом
координат, радиус окружности
принимается за масштабный отрезок.
Начальная точка А числовой окружности
совмещена с точкой (1; 0) на оси х. При
рис 11 этом В = В(0; 1), С = С(-1; 0), D = D(0; -1).
Каждая точка числовой окружности имеет в системе ХОУ свои координаты, причем:
у точек первой четверти -- х > 0, у > 0;
у точек второй четверти -- х < 0, у > 0;
у точек третьей четверти -- х < 0, у < 0;
у точек четвертой четверти -- х > 0, у < 0
Для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства:
-1? х ? 1, -1? у ? 1.
Нетрудно составить уравнение числовой окружности. Для этого заметим, во-первых, что центром окружности служит начало координат, а уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R имеет вид х2 + у2 = R2. Заметим, во-вторых, что R = 1; значит, уравнение числовой окружности имеет вид
х2+у2 = 1.
Точка М1-- середина первой четверти.
Опустим из точки М1 перпендикуляр М1Р на
прямую ОА и рассмотрим ?ОМ1Р (рис. 12).
Так как дуга АМ1 составляет половину дуги
АВ, то АOМ1 = 45°. Значит, ОМ1P --
рис 12 равнобедренный прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М1Р равны, т.е. у точки М1 абсцисса и ордината равны: х = у. Кроме того, координаты точки М1(х; у) удовлетворяют уравнению окружности
х2 + у2 = 1. Таким образом, для отыскания координат точки М1 нужно решить систему уравнений:
Подставив х вместо у во второе уравнение системы, получим:
х2 + x2 = 1, т.е. 2х2 = 1, х2 = , х = = ,
(мы учли, что абсцисса точки М1 положительна). А так как у = х, то и у = .
Итак,
М1 = М1
Для остальных ключевых точек так же выводятся свои координаты, а результат записывается в таблицу.