4. Размерность Хаусдорфа-Безиковича

Для оценки размерности Хаусдорфа-Безиковича рассмотрим измерение множества точек ? метрического пространства (рис. 8).

Рис. 8. Точки в метрическом Пространстве

Разобьем пространство на квадратные ячейки с размером стороны ячейки д и подсчитаем число ячеек, покрывающих это множество. Уменьшение размера ячейки приводит к росту числа ячеек, покрывающих множество. Каждая ячейка имеет площадь д2, тогда площадь множества

где N(д) - число ячеек, покрывающих множество.

Рассмотрим некоторые величины, характеризующие множество. Так, "длина" поверхности определяется выражением

Так как , то "длина" поверхности, определяемая предельным переходом, равна:

"Объем" поверхности

Таким образом, "длина" множества стремится к бесконечности, а "объем" ? к нулю.

Для характеристик" величины" (длины, объема) множества точек ? используется некоторая пробная функция , которая определяет размеры ячейки: длину при d=1, площадь при d=2, объем при d= "Величина", или мера множества ? определяется как сумма "величин" всех ячеек, покрывающих метрическое пространство ?:

Константа зависит от формы ячеек (для квадратной ячейки ).

При некотором показателе степени d мера Md при д>0 равна либо нулю, либо бесконечности, либо некоторому (не обязательно целому) конечному положительному числу. Значение d, при котором мера Md не равна нулю или бесконечности, адекватно отражает топологическую размерность множества ?.

Число dcr такое, что

называется размерностью Хаусдорфа-Безиковича.

Для "простых" (не фрактальных) геометрических объектов размерность Хаусдорфа-Безиковича совпадает с топологической размерностью. Для фрактальных объектов скачок меры Md от нуля к бесконечности происходит при дробных значениях d.

Пусть функция N(д) зависит от д со степенной особенностью в нуле

где б(д)дd >0 при д>0.

С точностью до бесконечно малых величин запишем

Откуда

Таким образом, имеем