Размерность фрактальных поверхностей

контрольная работа

5. Измерение длины негладкой (изломанной) линии

Как измерить длину береговой линии?

Рассмотрим следующие сравнительно простые приемы измерения.

Пометим точками A и B начало и конец измеряемого участка (рис. 9).

Рис. 9. Измерение длины линии раствором циркуля или с помощью сетки

Одна из процедур измерения длины заключается в следующем.

Будем измерять длину линии от точки А до точки B отрезками длиной д.

Подсчитав число отрезков, найдем длину С уменьшением раствора циркуля д число отрезков N(д) растет. Типичная зависимость L(д) от д в логарифмических координатах представлена на рис. 10.

Рис. 10. Зависимость измеренной длины изломанной (береговой) линии от масштаба (длины отрезка д)

Не останавливаясь на недостатках этого метода, особенно при определении фрактальной размерности профиля шероховатой поверхности, рассмотрим другой (альтернативный) метод.

Покроем рассматриваемый участок квадратной сеткой (правая часть рис. 9) и подсчитаем число ячеек, покрывающих рассматриваемую линию.

Уменьшение размера ячеек приводит к увеличению числа ячеек, покрывающих линию AB. Следует ожидать, что число шагов измерительного циркуля или число покрывающих линию ячеек будет обратно пропорционально д или д*х д*, а величина будет стремиться к постоянному для данной линии значению L(д). Однако при уменьшении д или размера ячеек сетки длина линии не стремится к постоянному значению. При д>0 измеряемая длина непрерывно растет, т.е. при д>0 величина L(д) не является пределом.

Измеренная длина линии может быть описана следующей приближенной формулой:

где D - фрактальная размерность линии.

Легко показать, что для прямой линии и, например, для окружности D=1. Длина окружности при уменьшении д стремится к постоянному значению, равному 2рR, где R-радиус окружности.

фрактальный размерность поверхность скейлинг

Делись добром ;)