Размерность фрактальных поверхностей
7. Подобие и скейлинг
Дадим определение геометрического подобия.
Две геометрические фигуры называются подобными, если: 1) угол между каждыми двумя линиями в одной из них равен углу между соответствующими линиями в другой и 2) каждый прямолинейный отрезок в одной из них находится в постоянном отношении с соответствующим ему отрезком в другой.
Так, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны, а длины сторон, заключающих эти углы, пропорциональны.
Кроме геометрического подобия, различают кинематическое и динамическое подобия для механических явлений, лежащие в основе процедур моделирования.
Прямая линия при параллельном переносе остается самой собой.
Можно утверждать, что прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба (скейлинга), т.е. она самоподобна.
Таким образом, скейлинг - это отражение масштабной инвариантности.
Для отрезка прямой единичной длины можно выбрать коэффициент подобия
r(N)=1/N,
где N - любое целое число (N >1).
Прямоугольный участок плоскости можно покрыть уменьшенными копиями, если их длины изменить в r(N)=(1/N)1/2 раз.
Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, выбрав масштабный множитель r(N)=(1/N)1/ В общем случае масштабный множитель следует выбрать равным
r(N)=(1/N)1/d,
где d - размерность подобия, равная 1 - для прямой, 2 - для плоскости и 3 - для объемных фигур.
Для фрактальных геометрических структур размерность подобия Dp определяется выражением