Разностные уравнения и их применение в экономике
§1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса
В экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.
Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления запаздывает от роста национального дохода , т.е. что
(1)
где - предельная склонность к потреблению при увеличении текущего дохода на единицу ( ), а - автономное потребление.
Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а в предшествующем периоде:
(2)
Здесь - коэффициент, именуемый акселератом.
Условие равенства спроса и предложения имеет вид
(3)
Подставляя в (3) выражение для из (1), из (2), находим:
(4)
Уравнение (4) называется уравнением Хикса. Пусть величины , и постоянны. Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.
В реальной экономике , а . При таких значениях предельной склонности к потреблению и акселератора решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется быстрым убыванием, убывание - возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).
Поясним это на числовом примере.
Пример (уравнение Хикса). Предположим, что , , . Тогда уравнение Хикса имеет вид
(5)
Найдем частное решение. Положив и подставив в (5) получим
,
Частное решение . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.
Корни характеристического уравнения
равны .
Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида
И ,
где .
После округления получим и .
Рис.1 Модель Самуэльсона-Хикса
Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция
График этой функции при и изображен на рис.1,а.
Из последнего примера наглядно видно, что решение уравнения Хикса очень быстро принимает неправдоподобные значения. В действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не происходит. Размер национального дохода не может превышать величину национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис.1,б. Они имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.