Разностные уравнения и их применение в экономике

практическая работа

§1. Модель экономического цикла Самуэльсона-Хикса

В экономических науках в целях простоты модели, связанные с запаздыванием, записывают в виде разностных уравнений, то есть в виде уравнений с дискретным временем.

Так, модель Самуэльсона-Хикса предполагает, что рост потребления запаздывает от роста национального дохода , т.е. что

(1)

где - предельная склонность к потреблению при увеличении текущего дохода на единицу ( ), а - автономное потребление.

Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво. Поэтому, принимая решение об объеме инвестиций, они ориентируются на приращение национального дохода не в текущем, а в предшествующем периоде:

(2)

Здесь - коэффициент, именуемый акселератом.

Условие равенства спроса и предложения имеет вид

(3)

Подставляя в (3) выражение для из (1), из (2), находим:

(4)

Уравнение (4) называется уравнением Хикса. Пусть величины , и постоянны. Тогда уравнение Хикса представляет собой линейное неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

В реальной экономике , а . При таких значениях предельной склонности к потреблению и акселератора решение уравнения Хикса неустойчиво и носит колебательный характер: возрастание сменяется быстрым убыванием, убывание - возрастанием. Это означает, что даже при постоянном темпе капиталовложений экономика имеет неустойчивый характер (раз нарушенное равновесие больше не восстанавливается), а периоды подъема экономики чередуются с периодами спадов (кризисов).

Поясним это на числовом примере.

Пример (уравнение Хикса). Предположим, что , , . Тогда уравнение Хикса имеет вид

(5)

Найдем частное решение. Положив и подставив в (5) получим

,

Частное решение . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Корни характеристического уравнения

равны .

Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида

И ,

где .

После округления получим и .

Рис.1 Модель Самуэльсона-Хикса

Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция

График этой функции при и изображен на рис.1,а.

Из последнего примера наглядно видно, что решение уравнения Хикса очень быстро принимает неправдоподобные значения. В действительности такой сильной раскачки значений национального дохода не происходит. Размер национального дохода не может превышать величину национального дохода полной занятости. Это ограничивает амплитуду колебаний объема национального дохода сверху. С другой стороны, объем инвестирования не может быть меньше отрицательной величины амортизации и это ограничивает амплитуду колебания величины национального дохода снизу. В результате колебания размера национального дохода принимают вид, изображенный на рис.1,б. Они имеют конечную амплитуду и характеризуют экономические циклы подъема и спада производства.

Делись добром ;)