Разрешимость конечных групп

курсовая работа

2. О нормальных подгруппах конечных -обособленных групп

Пусть - некоторое множество простых чисел, а - дополнение к во множестве всех простых чисел. Конечная группа называется -обособленной или -разрешимой , если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо -группой. В силу теоремы Фейта-Томпсона о разрешимости групп нечетного порядка каждая конечная -обособленная группа либо -разрешима, либо -разрешнма. Поэтому для -обособленной группы справедливы - и -силовские теоремы . Отметим только, что -обособленная группа не обязана быть -обособленной, где . Через обозначается наибольшая нормальная -подгруппа конечной группы , а через - совокупность всех простых делителей порядка .

Теорема 1. Если - -подгруппа, субнормальная в некоторой -холловской подгруппе конечной -обособленной группы , то .

Следствие. Если - конечная -обособленная группа с нильпотентной -холловской подгруппой, то для любой -подгруппы .

Пример группы , где - автоморфизм порядка 5, указывает на то, что субнормальность подгруппы в теореме 1 отбросить нельзя.

Отметим, что следствие теоремы 1 в случае известно (см., например, , с.22).

Теорема 2. Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы , то для любого подмножества из .

Результат теоремы 2 является новым и в случае, когда множество одноэлементно.

Лемма 1. Если - минимальная нормальная подгруппа конечной группы , а - нормальная в неединичная подгруппа, то .

Доказательство. Достаточно вспомнить, что - прямое произведение изоморфных простых групп.

Лемма 2. Если - нормальная -подгруппа конечной группы , то для каждой -подгруппы из .

Доказательство. Ясно, что выполняется включение . Проверим обратное включение.

Если , то . Так как и - -холловские подгруппы -обособленной группы , то для некоторого . Поэтому и , т.е. равенство доказано.

Лемма 3. Если - конечная -обособленная группа и , то .

Доказательство. Пусть - формация -замкнутых групп. Тогда -радикал группы совпадает с . По теореме Л.А. Шеметкова фактор-группа имеет единичный -радикал. Из -обособленности теперь следует, что , т.е. .

Лемма 4. Пусть - -автоморфизм конечной -группы . Если - субнормальная в подгруппа и , то .

Доказательство. См. , с. 19, лемма 2.2

Доказательство теоремы 1. Воспользуемся индукцией по порядку группы. Проверим, что .

Пусть . Тогда для фактор-группы и ее -подгруппы , субнормальной в -холловской подгруппе , где - -холловская подгруппа в , теорема верна. Поэтому . Поскольку , то

Отметим, что последнее равенство справедливо по лемме 2. Следовательно, .

Итак, . Пусть , a . Ясно, что есть -подгруппа, в которой субнормальна. На действует -группа , причем и . По лемме 4 получаем, что , т.е. . Теперь по лемме 3. Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Воспользуемся индукцией по порядку группы . Пусть . Ясно, что , поэтому и . Если , то для фактор-группы теорема верна, а поэтому . Поскольку , то .

Пусть теперь , а . Обозначим через минимальную нормальную в подгруппу. Поскольку - либо -группа, либо -группа, а , то - -группа и . Поэтому - нормальная в -группа. Если , то - -группа по лемме 1, что противоречит тому, что . Следовательно, и .

Предположим, что - собственная в подгруппа. Тогда - -обособленная группа с -холловской подгруппой и . По индукции , а так как нормальна в , то . Таким образом, , что противоречит .

Следовательно, , т.е. содержится в центре . Но тогда и . Для фактор-группы теорема верна, поэтому . Поскольку - центральная подгруппа и не принадлежит , то и . Значит, , что и требовалось доказать.

Напомним, что -нильпотентной называют конечную группу, обладающую нормальной -холловской подгруппой, фактор-группа по которой нильпотентна. Через обозначается наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа конечной группы , а через - подгруппа Фиттинга группы .

Теорема 3. Если - -холловская подгруппа конечной -обособленной группы и , то .

Доказательство. Ясно, что , а, значит, . Обратное включение проверим индукцией по порядку группы.

Предположим, что , т.е. , а . Минимальная нормальная в подгруппа содержится в . Далее, - нормальная в -группа. Так как не может быть -группой, то по лемме 1 и . Подгруппа нормальна в , поэтому - -холловская подгруппа -обособленной группы и . Подгруппа характеристична в , поэтому она нормальна в и .

Если - собственная в подгруппа, то по индукции , т.е. , а значит, и . Противоречие.

Следовательно, и содержится в центре . Теперь , где . Если , то , где - -подгруппа. Поэтому нормальна в , что невозможно. Итак, и для фактор-группы теорема верна. Значит, и , где - силовская -подгруппа из . Так как нормальна в , то нормальна в и . Теорема доказана.

Следствие.1. Если - нильпотентная -холловская подгруппа -обособленной группы и , то .

Следствие.2. Если - -холловская подгруппа -обособленной группы , то .

Делись добром ;)