Разрешимость одной краевой задачи
1.1 Основные понятия и определения
1. Множество X элементов любой природы называется линейным или векторным пространством, если
а) для любых 2-х элементов ставится в соответствие элемент , который называется суммой взятых элементов и обозначается
б) для любого элемента и ставится в соответствие элемент , который называется суммой взятых элементов и обозначается .
2. пусть X линейное пространство. Конечный функционал называется нормой, если для любых 2-х элементов удовлетворяют аксиомы:
а)
б)
в)
3. Линейное пространство X, в котором определенна некоторая норма, называется нормированным пространством, норма обозначается .
4. Если пространство X таково, что в нем каждая фундаментальная последовательность сходиться к элементу этого пространства, то оно называется банаховым или полным.
5. пусть X -нормированное пространство. Множество называется относительно компактным, если произвольная последовательность этого множества содержит подпоследовательность, которая сходится к элементу пространства X.
6. Множество называется компакным, если оно относительно компактно и замкнуто.
7. Оператор называется ограниченным, если существует такая константа , такая что
8. Ядро линейного оператора называется множество
9. Образом оператора A называется множество подпространство пространства Y.
10. Совокупность всех линейных непрерывных функционалов на банаховом пространстве X образует сопряженное к X линейное пространство.
11. пусть X и Y - банаховы пространства, оператор называется обратным к оператору , если уравнение однозначно разрешимо, и это решение представимо в виде
12. Число называется собственным значением оператора A, если существует такой ненулевой собственный вектор ,
13. Точка называется регулярной, если оператор непрерывно обратим. Совокупность регулярных точек называется резольвентным множеством, а оператор резольвентой оператора A.
14. Совокупность собственных значений оператора A называется спектром оператора A.
15. Условие Каратеодори: функция измерима при , и функция непрерывна