Глава 2. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина
Рассматриваем вопрос об условиях однозначной разрешимости функционально-дифференциальное уравнения второго порядка с отклоняющимся аргументом и с однородными краевыми условиями:
(1)
(2)
Линейный ограниченный оператор , .
Функцию p(t) можно представить в виде разности 2-х функций,
,
(3)
Благодаря равенству (3) исходная краевая задача (1)-(2) запишем следующим образом:
Рассмотрим вспомогательную задачу
(4)
Теорема 1:
Если выполнены следующие условия:
1. Краевая задача (4) однозначно разрешима и функция Грина на
2. где
Тогда задача (1)-(2) однозначно разрешима и функция Грина отрицательна.
Доказательство:
Задача (1)-(2) эквивалента уравнению (6), где
Нужно отметить, что уравнение (6) мы рассматриваем в пространстве , а решение задачи (1), (2) - элемент пространства Тем не менее утверждение об эквивалентности верно, так как в силу свойств функции Грина значение оператора на непрерывной функции является элементом из
Уравнение (6) рассматриваем в пространстве непрерывных функций и , то получаем ряд Неймана[3,с.187].
Ряд Неймана сходится равномерно[3,c.189], его сумма представляет решение уравнения (6)
-доказали однозначную разрешимость.
Докажем, что функция Грина отрицательна:
- изотонный оператор
Предполагаем, что функция f(t) положительна, отрицательна из равенства (6), следовательно, функция z(t) отрицательная. Каждое слагаемое в ряде Неймана представляет отрицательно, из этого следует отрицательность решения уравнения (5):
, предполагаем не отрицательность функции f(t), следовательно функция Грина отрицательна.
Задача (1)-(2) однозначна разрешима и ее функция Грина отрицательна.
- Введение
- Глава 1. Вспомогательные утверждения и конструкции
- 1.1 Основные понятия и определения
- 1.2 Банаховы функциональные пространства
- 1.3 Функция Грина
- 1.4 Задачи, сводящиеся к интегральным уравнениям
- Глава 2. Постановка краевой задачи и исследование ее однозначной разрешимости и отрицательности функции Грина
- 2.1 Признак существования решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения
- 2.2 Исследование разрешимости краевой задачи
- 2.3 Оценка нормы оператора
- 2.4 Исследование отрицательности функции Грина
- 2.5 Исследование разрешимости двухточечной краевой задачи
- Заключение