Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

курсовая работа

1.1 Доверительные оценки

Выборочная оценка, являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из данной выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данные поставляют доверительные оценки. Пусть случайная выборка из генеральной совокупности со случайной величиной , распределение которой зависит от параметра . Пусть - такие функции выборок, что при произвольном выполняется равенство

. (1.1.1)

Тогда случайный интервал называется доверительной оценкой параметра с мерой надежности (с уровнем значимости ).
Если имеется реализация выборки , то реализация доверительной оценки дает доверительный интервал и в большом ряду выборок истинное значение лежит примерно в случаев внутри вычисленных доверительных границ и . Равенство (1.1.1) можно интерпретировать и так: случайный интервал “покрывает” истинный параметр с доверительной вероятностью .

В математической статистике часто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критических границ и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p-квантилью случайной величины с функцией распределения называется решение уравнения .
Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости (процентной точкой уровня ), непрерывной случайной величины с функцией распределения называется значение случайной величины , для которой , или . Нижней и верхней критическими границами, отвечающими уровню значимости непрерывной случайной величины с функцией распределения называются значения случайной величины и , для которых ; ;

.

Для симметричных случайных величин, у которых плотности
распределения симметричны относительно некоторой точки, нижние и верхние критические границы удовлетворяют условию , что дает возможность приводить таблицы лишь для процентных точек или квантилей, больших . Так, для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости .

Квантиль, односторонние и двухсторонние критические границы изображены на рис.1.

Рис.1. р-квантиль и критические точки для закона распределения .

1.1.1 Доверительная оценка при неизвестной вероятности по большим выборкам

Частота является точечной оценкой , она асимптотически нормально распределена с и .

Если ,то . Зададим . Величина такая, что может быть найдена из уравнения при помощи таблиц для функций Лапласа. Эти же рассуждения применим к . По заданному можно найти так, чтобы . Из неравенства следует, что , откуда можно вычислить оба значения и , которые представляют доверительные оценки для . Если выбрано достаточно малым, то случайный интервал “покрывает” почти наверное.

1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона

1.1.2.1 Доверительная оценка при известном

,, тогда .

Соответственно,

.

Для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости нижняя и верхняя критические границы соответственно равны и .

Имеем

или

.

.

Таким образом, - доверительная оценка для параметра a с мерой надежности .

1.1.2.2 Доверительная оценка при неизвестном

Оценка основана на том факте, что при высказанных предположениях величина удовлетворяет t- распределению с n-1 степенями свободы.

Определяя одностороннюю критическую точку из условия ,получим доверительную оценку для а в виде

.

Для конкретной выборки объема n доверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.

1.1.2.3 Доверительная оценка при неизвестном

Отправной точкой является тот факт, что при заданных предпосылках величина удовлетворяет - распределению с n-1 степенями свободы. По заданному уровню значимости и степенями свободы находим критические точки и распределения такие, что

,

, или .

Таким образом , есть доверительная оценка с мерой надежности .

Делись добром ;)