Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий
1.1 Доверительные оценки
Выборочная оценка, являясь точечной, дает оценочные значения соответствующего параметра из данной выборки, но ничего не дает для точности и достоверности оценки. Такие данные поставляют доверительные оценки. Пусть случайная выборка из генеральной совокупности со случайной величиной , распределение которой зависит от параметра . Пусть - такие функции выборок, что при произвольном выполняется равенство
. (1.1.1)
Тогда случайный интервал называется доверительной оценкой параметра с мерой надежности (с уровнем значимости ).
Если имеется реализация выборки , то реализация доверительной оценки дает доверительный интервал и в большом ряду выборок истинное значение лежит примерно в случаев внутри вычисленных доверительных границ и . Равенство (1.1.1) можно интерпретировать и так: случайный интервал “покрывает” истинный параметр с доверительной вероятностью .
В математической статистике часто используют понятие квантилей, процентных точек (односторонних критических границ и двухсторонних критических границ). Квантилью уровня p или p-квантилью случайной величины с функцией распределения называется решение уравнения .
Односторонней критической границей, отвечающей уровню значимости (процентной точкой уровня ), непрерывной случайной величины с функцией распределения называется значение случайной величины , для которой , или . Нижней и верхней критическими границами, отвечающими уровню значимости непрерывной случайной величины с функцией распределения называются значения случайной величины и , для которых ; ;
.
Для симметричных случайных величин, у которых плотности
распределения симметричны относительно некоторой точки, нижние и верхние критические границы удовлетворяют условию , что дает возможность приводить таблицы лишь для процентных точек или квантилей, больших . Так, для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости .
Квантиль, односторонние и двухсторонние критические границы изображены на рис.1.
Рис.1. р-квантиль и критические точки для закона распределения .
1.1.1 Доверительная оценка при неизвестной вероятности по большим выборкам
Частота является точечной оценкой , она асимптотически нормально распределена с и .
Если ,то . Зададим . Величина такая, что может быть найдена из уравнения при помощи таблиц для функций Лапласа. Эти же рассуждения применим к . По заданному можно найти так, чтобы . Из неравенства следует, что , откуда можно вычислить оба значения и , которые представляют доверительные оценки для . Если выбрано достаточно малым, то случайный интервал “покрывает” почти наверное.
1.1.2 Доверительные оценки для параметров нормального закона
1.1.2.1 Доверительная оценка при известном
,, тогда .
Соответственно,
.
Для стандартной нормальной случайной величины с уровнем значимости нижняя и верхняя критические границы соответственно равны и .
Имеем
или
.
.
Таким образом, - доверительная оценка для параметра a с мерой надежности .
1.1.2.2 Доверительная оценка при неизвестном
Оценка основана на том факте, что при высказанных предположениях величина удовлетворяет t- распределению с n-1 степенями свободы.
Определяя одностороннюю критическую точку из условия ,получим доверительную оценку для а в виде
.
Для конкретной выборки объема n доверительная оценки для а становится ее доверительным интервалом.
1.1.2.3 Доверительная оценка при неизвестном
Отправной точкой является тот факт, что при заданных предпосылках величина удовлетворяет - распределению с n-1 степенями свободы. По заданному уровню значимости и степенями свободы находим критические точки и распределения такие, что
,
, или .
Таким образом , есть доверительная оценка с мерой надежности .