2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Вариант 23

Задача 1

На отрезок единичной длины наугад ставится точка. Вычислить вероятность того, что расстояние от точки до концов отрезка превышает величину .

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть дан отрезок длины (Рис. 2.1). Расстояние от точки до концов отрезка превышает величину в том случае, если , где , .

Рис. 2.1

Пусть А - событие, когда . Тогда искомая вероятность .

Для заданных значений и .

Задача 2

В круг радиуса R наудачу ставится точка. Найти вероятность того, что она попадет в одну из двух непересекающихся фигур, которые имеют площади и .

Решить задачу при , , .

Решение:

Поскольку фигуры не пересекаются, то площадь, в которую должна попасть точка, равна . Общая площадь, в которую может попасть точка, равна . Таким образом искомая вероятность . Для заданных значений , и .

Задача 3

Среди лотерейных билетов выигрышных. Наудачу взяли билетов. Определить вероятность того, что среди них не менее L выиграшных.

Решить задачу при , , ,.

Решение:

Число способов купить билетов, среди которых L выигрышных составляет .

Число способов купить билетов, среди которых L+1 выигрышных составляет , и так далее.

Число способов купить билетов, среди которых выигрышных составляет .

Таким образом, число способов купить билетов, среди которых не менее половины выигрышных составляет

++…+.

Общее число способов купить билетов из составляет .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , и .

Задача 4

В лифт -этажного дома сели пассажиров (). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этажа. Определить вероятность того, что хотя бы двое вышли на одном этаже.

Решить задачу при , .

Решение:

Пусть - событие, когда все пассажиры вышли на разных этажах. Тогда вероятность искомого события .

Найдем . Количество способов всем пассажирам выйти на разных этажах составляет . Общее число способов выхода пассажиров на одном из -го этажа составляет . Тогда .

Искомая вероятность .

Для заданных значений , .

Задача 5

В двух партиях и процентов доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них одно доброкачественное и одно бракованное?

Решить задачу при и .

Решение:

Пусть - событие обнаружить доброкачественное изделие из -й партии. - событие обнаружить бракованное изделие из -й партии. Тогда искомая вероятность .

,

,

,

.

.

Для заданных значений , искомая вероятность .

Задача 6

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком - р1, вторым - р2. Первый сделал n1, второй n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

р1 = 0,76; р2 = 0.39; n1 = 2; n2 = 3.

Решение:

Пусть событие А - цель не поражена. Вероятность того, что первый стрелок не попадет в цель при одном выстреле равна (1 - р1). Вероятность того, что первый стрелок не попадет при n1 выстрелах равна (1 - р1)ⁿ¹, вероятность того, что второй стрелок не попадет в цель при n2 выстрелах равна (1 - р2)ⁿ². Получим

Р(А) = (1 - р1)ⁿ¹ (1 - р2)ⁿ² =

= 0,24²*0,61³= 0,013.

Ответ: 0,013.

Задача 7

Урна содержит М занумерованных шаров от 1 до М. Шары извлекаются по одному без возвращения. Событие B - хотя бы 1 раз совпадет номер шара и порядковый номер извлечения. Определить вероятность события С. Найти предельное значение вероятности при М .

М = 10.

Решение:

Количество совпадений одного номера шара и порядкового номера извлечения равно ; количество совпадений двух номеров - ; трех номеров - ; … ; М номеров - . Общее количество способов извлечения М шаров равно . Таким образом получаем вероятность события С:

.

Для М = 10 получим

Найдем предельное значение вероятности:

0

Задача 8

Дана плотность распределения р(х) случайной величины . Найти

a) параметр ;

b) функцию распределения случайной величины;

c) вероятность выполнения неравенства .

, .

Решение:

a) найдем значение параметра из

b) .

c)

Задача 9

Случайная величина имеет плотность распределения . Найти плотность распределения вероятностей случайной величины

= ,

Решение:

Найдем по формуле

= .

Найдем

=

Ответ: =

ия номера шара и порядкового номера извлечения при одном выстреле равна 1 - р1`````````````````````````````````````````

ВЫВОДЫ

Корреляция и корреляционные моменты являются достаточно важными понятиями, имеющими применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

Многие задачи практики решаются с помощью вычисления коэффициента корреляции или корреляционных моментов. Корреляционный момент - характеристика системы случайных величин, описывающая рассеивания случайных величин и связь между ними. Степень зависимости случайных величин удобнее характеризовать посредством безразмерной величины - коэффициента корреляции.

Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Основными задачами корреляционного анализа являются оценка силы связи и проверка статистических гипотез о наличии и силе корреляционной связи. Корреляционный анализ считается одним из главных методов в маркетинге, наряду с оптимизационными расчетами, а также математическим и графическим моделированием.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ивашев-Мусатов О.С. Теория вероятностей и математическая

статистика., М.: Наука, 1979.

Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей.-М.:Наука, 1969.

В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский. Теория

вероятностей и математическая сатистика. М., 1991.

«Теория Статистики» под редакцией Р.А. Шмойловой/ «ФиС», 1998.

А.А. Френкель, Е.В. Адамова «Корреляционно регрессионный анализ в экономических приложениях»/ М., 1987.

И.Д.Одинцов «Теория статистики»/ М., 1998.