2.1 Метод А. М. Данілевського
Суть методу А. М. Данілевського [1] полягає в приведенні вікового визначника до так званого нормального виду Фробеніуса
. (1)
Якщо нам вдалося записати вікового визначника у формі (1), то, розкладаючи його по елементах першого рядка, матимемо:
Або
. (2)
Таким чином, розгортання вікового визначника, записаного в нормальній формі (1), не представляє труднощів. Позначимо через
дану матрицю, а через
-- подібну їй матрицю Фробеніуса, тобто
,
де S - особлива матриця.
Оскільки подібні матриці володіють однаковими характеристичними поліномами, то маємо:
det(A-E)= det(P-E). (3)
Тому для обґрунтування методу досить показати, яким чином, виходячи з матриці А, будується матриця Р. Згідно методу А. М. Данілевського, перехід від матриці А до подібної їй матриці Р здійснюється за допомогою т - 1 перетворення подібності, що послідовно перетворюють рядки матриці А, починаючи з останньої, у відповідні рядки матриці Р.
Покажемо початок процесу. Нам необхідно рядок
перевести в рядок 0 0 ... 1 0. Припускаючи, що , розділимо всі елементи (n-1) - го стовпця матриці А на . Тоді її n-й рядок прийме вигляд
.
Потім віднімемо (n-1) - й стовпець перетвореної матриці, помножений відповідно на числа , зі всієї решти її стовпців.
В результаті одержимо матрицю, останній рядок якої має бажаний вигляд 0 0 ... 1 0. Вказані операції є елементарними перетвореннями, що здійснюються над стовпцями матриці А. Виконавши ці ж перетворення над одиничною матрицею, одержимо матрицю
Де
при і ? n - 1(4)
І
.(4)
Звідси робимо висновок, що проведені операції рівносильні множенню справа матриці на матрицю А, тобто після вказаних перетворень одержимо матрицю
. (5)
Використовуючи правило множення матриць, знаходимо, що елементи матриці В обчислюються за наступними формулами:
(6)
(6)
Проте побудована матриця не буде подібна матриці А. Для того щоб мати перетворення подібності, потрібно обернену матрицю зліва помножити на матрицю В:
.
Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що обернена матриця має вигляд
(7)
Нехай
Отже
(8)
Оскільки, очевидно, множення зліва матриці на матрицю В не змінює перетвореного рядка останньої, то матриця C має вигляд
(9)
Перемножуючи матриці (7) і B (5), матимемо:
(10)
І
(10)
Таким чином, множення на матрицю В змінює лише (n - 1) -й рядок матриці В. Елементи цього рядка знаходяться за формулами (10) і (10). Одержана матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок. Цим закінчується перший етап процесу.
Далі, якщо , то над матрицею C можна повторити аналогічні операції, узявши за основу (n - 2) -й її рядок. В результаті одержимо матрицю
з двома зведеними рядками. Над останньою матрицею проробляємо ті ж операції. Продовжуючи цей процес, ми, нарешті, одержимо матрицю Фробеніуса
якщо, звичайно, всі n - 1 проміжних перетворень можливі. Весь процес може бути оформлений в зручну обчислювальну схему, складання якої покажемо на наступному прикладі.
Приклад. Привести до вигляду Фробеніуса матрицю
.
Розвязання.
Обчислення розташовуємо в таблицю 1.
Номер рядка |
Рядки матриці |
? |
? |
|||||
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||
1 2 3 4 |
1 2 3 4 |
2 1 2 3 |
3 2 1 2 |
4 3 2 1 |
10 8 8 10 |
|||
І |
-2 |
-1,5 |
0,5-1 |
-0,5 |
-5 |
|||
5 6 7 8 |
4 3 2 1 |
-5 2 1 0 |
-2,5 -2 0,5 0 |
1,5 1 0,5 1 |
2,5 2 1,5 0 |
-3,5 -1 3,5 1 |
-5 -2 3 0 |
|
7 |
-24 |
-15 |
11 |
19 |
-9 |
|||
ІІ |
-1,600 |
-0,067 -1 |
0,733 |
1,267 |
-0,600 |
|||
9 |
-24 |
-1 |
0,167 |
-0,333 |
-0,667 |
-1,833 |
-2 |
|
10 |
-15 |
1,2 |
0,133 |
-0,467 |
-0,533 |
0,333 |
0,2 |
|
11 |
11 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
12 |
19 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
10 |
6 |
5 |
34 |
24 |
69 |
|||
ІІІ |
0,167-1 |
-0,833 |
-5,667 |
-4,000 |
-11,500 |
|||
13 |
6 |
-0,167 |
1 |
5,333 |
3,333 |
9,500 |
9,667 |
|
14 |
5 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
15 |
34 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
|
16 |
24 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
13 |
4 |
40 |
56 |
20 |
120 |
У рядках 1-4 таблиці 1 розміщуємо елементи даної матриці і контрольні суми . Відзначаємо елемент , що належить третьому стовпцю (відмічений стовпець). У рядку 1 записуємо елементи третього рядка матриці , що обчислюються за формулами (4) і (4):
Сюди ж (рядок 1 таблиці 1) поміщаємо елемент
що одержується аналогічним прийомом з контрольного стовпця ?. Число -5 повинно співпасти з сумою елементів рядка I, що не входять в контрольний стовпець (після заміни елементу на -1). Для зручності число -1 записуємо поряд з елементом , відокремлюючи від останнього межею.
У рядках 5-8 в графі М-1 виписуємо третій рядок матриці М-1, яка в силу формули (7) співпадає з четвертим рядком початкової матриці А. У рядках 5-8 у відповідних стовпцях виписуємо елементи матриці
B = АМ3,
що обчислюються за двочленними формулами (6) для невідмічених стовпців і по одночленній формулі (6) для відміченого стовпця. Наприклад, для першого стовпця маємо:
і т.д.
Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на = 0,5. Наприклад,
Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд
0 0 1 0.
Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з відповідними елементами стовпця ?. Наприклад,
Отримані результати записуємо в стовпці ? у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми
для рядків 5-8 (стовпець ?).
Перетворення ,що проведене над матрицею і що дає матрицю , змінює лише третій рядок матриці В, тобто сьомий рядок таблиці. Елементи цього перетвореного рядка 7 виходять по формулі (10), тобто є сумами парних добутків елементів стовпця , що знаходяться в рядках 5-8, на відповідні елементи кожного із стовпців матриці В. Наприклад
і т. д.
Такі ж перетворення проводимо над стовпцем ?:
В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7, 8 з контрольними сумами ?, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення .
Далі, прийнявши матрицю C за вихідну і виділивши елемент (другий стовпець), продовжуємо процес аналогічним чином. В результаті одержуємо матрицю , елементи якої розташовані в рядках 9, 10, 11, 12, що містить два зведені рядки. Нарешті, відправляючись від елементу (перший стовпець) і перетворюючи матрицю D в подібну їй, одержуємо шукану матрицю Фробеніуса Р, елементи якої записані в рядках 13, 14, 15, 16. На кожному етапі процесу контроль здійснюється за допомогою стовпців ? і ?.
Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд:
Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так:
або
.
Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського.
Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінні від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується.
Припустимо, що при перетворенні матриці А в матрицю Фробеніуса Р ми після декількох кроків пришли до матриці вигляду
,
причому виявилось, що .
Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки.
1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента , відмінний від нуля, тобто , де. Тоді цей елемент висуваємо на місце нульового елементу , тобто переставляємо (k-1) -й і k -й стовпці матриці D і одночасно переставляємо її (k-1) -й і l-й рядки. Можна довести, що одержана нова матриця D буде подібна колишній. До нової матриці застосовуємо метод А.М.Данілевського.
2. Нехай , тоді D має вигляд
У такому разі віковий визначник det(D - Е) розпадається на два визначники
det (D - Е) = det (D1 - Е) det (D2 - Е).
При цьому матриця D2 вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D2 - Е) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D1.
Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського.
Метод А. М. Данілевського [1] дає можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власні значення. Неай -- власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса Р.
Знайдемо власний вектор матриці Р, відповідний даному значенню : Ру = у. Звідси (Р - Е) у = 0 або
Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат власного вектора у:
(1)
Система (1) -- однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розвязки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо yn=1. Тоді послідовно одержимо:
(2)
Таким чином, шуканий власний вектор є
.
Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню . Тоді, очевидно, маємо:
.
Перетворення M1, здійснене над y, дає:
Таким чином, перетворення М1 змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М2 змінить лише другу координату вектора М1у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А.
- Вступ
- Розділ І. Основні відомості з лінійної алгебри
- 1.1 Види матриць. Дії над матрицями. Визначник
- 1.2 Власні значення та власні вектори матриці
- Розділ ІІ. Знаходження власних векторів і власних значень матриць
- 2.1 Метод А. М. Данілевського
- 2.2 Метод А. Н. Крилова
- 2.3 Метод Леверрьє
- 2.4 Метод невизначених коефіцієнтів
- 2.5 Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці
- 2.6 приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці
- Висновки
- 3.4. Власні значення та власні вектори квадратної матриці другого порядку
- Власні значення й власні вектори лінійного перетворення.
- §2. Власні значення і власні вектори лінійного перетворення.
- 12 Лінійні перетворення. Власні числа і власні вектори матриці
- 14.5.4. Власні вектори і сегментація
- Власні значення і власні вектори лінійного оператора.
- 7.3. Власні вектори та власні значення лінійного оператора
- Методи вирішення задач на власні значення та власні вектори матриць