2.1 Метод А. М. Данілевського

Суть методу А. М. Данілевського [1] полягає в приведенні вікового визначника до так званого нормального виду Фробеніуса

. (1)

Якщо нам вдалося записати вікового визначника у формі (1), то, розкладаючи його по елементах першого рядка, матимемо:

Або

. (2)

Таким чином, розгортання вікового визначника, записаного в нормальній формі (1), не представляє труднощів. Позначимо через

дану матрицю, а через

-- подібну їй матрицю Фробеніуса, тобто

,

де S - особлива матриця.

Оскільки подібні матриці володіють однаковими характеристичними поліномами, то маємо:

det(A-E)= det(P-E). (3)

Тому для обґрунтування методу досить показати, яким чином, виходячи з матриці А, будується матриця Р. Згідно методу А. М. Данілевського, перехід від матриці А до подібної їй матриці Р здійснюється за допомогою т - 1 перетворення подібності, що послідовно перетворюють рядки матриці А, починаючи з останньої, у відповідні рядки матриці Р.

Покажемо початок процесу. Нам необхідно рядок

перевести в рядок 0 0 ... 1 0. Припускаючи, що , розділимо всі елементи (n-1) - го стовпця матриці А на . Тоді її n-й рядок прийме вигляд

.

Потім віднімемо (n-1) - й стовпець перетвореної матриці, помножений відповідно на числа , зі всієї решти її стовпців.

В результаті одержимо матрицю, останній рядок якої має бажаний вигляд 0 0 ... 1 0. Вказані операції є елементарними перетвореннями, що здійснюються над стовпцями матриці А. Виконавши ці ж перетворення над одиничною матрицею, одержимо матрицю

Де

при і ? n - 1(4)

І

.(4)

Звідси робимо висновок, що проведені операції рівносильні множенню справа матриці на матрицю А, тобто після вказаних перетворень одержимо матрицю

. (5)

Використовуючи правило множення матриць, знаходимо, що елементи матриці В обчислюються за наступними формулами:

(6)

(6)

Проте побудована матриця не буде подібна матриці А. Для того щоб мати перетворення подібності, потрібно обернену матрицю зліва помножити на матрицю В:

.

Безпосередньою перевіркою легко переконатися, що обернена матриця має вигляд

(7)

Нехай

Отже

(8)

Оскільки, очевидно, множення зліва матриці на матрицю В не змінює перетвореного рядка останньої, то матриця C має вигляд

(9)

Перемножуючи матриці (7) і B (5), матимемо:

(10)

І

(10)

Таким чином, множення на матрицю В змінює лише (n - 1) -й рядок матриці В. Елементи цього рядка знаходяться за формулами (10) і (10). Одержана матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок. Цим закінчується перший етап процесу.

Далі, якщо , то над матрицею C можна повторити аналогічні операції, узявши за основу (n - 2) -й її рядок. В результаті одержимо матрицю

з двома зведеними рядками. Над останньою матрицею проробляємо ті ж операції. Продовжуючи цей процес, ми, нарешті, одержимо матрицю Фробеніуса

якщо, звичайно, всі n - 1 проміжних перетворень можливі. Весь процес може бути оформлений в зручну обчислювальну схему, складання якої покажемо на наступному прикладі.

Приклад. Привести до вигляду Фробеніуса матрицю

.

Розвязання.

Обчислення розташовуємо в таблицю 1.

У рядках 1-4 таблиці 1 розміщуємо елементи даної матриці і контрольні суми . Відзначаємо елемент , що належить третьому стовпцю (відмічений стовпець). У рядку 1 записуємо елементи третього рядка матриці , що обчислюються за формулами (4) і (4):

Сюди ж (рядок 1 таблиці 1) поміщаємо елемент

що одержується аналогічним прийомом з контрольного стовпця ?. Число -5 повинно співпасти з сумою елементів рядка I, що не входять в контрольний стовпець (після заміни елементу на -1). Для зручності число -1 записуємо поряд з елементом , відокремлюючи від останнього межею.

У рядках 5-8 в графі М^-1 виписуємо третій рядок матриці М^-1, яка в силу формули (7) співпадає з четвертим рядком початкової матриці А. У рядках 5-8 у відповідних стовпцях виписуємо елементи матриці

B = АМ₃,

що обчислюються за двочленними формулами (6) для невідмічених стовпців і по одночленній формулі (6) для відміченого стовпця. Наприклад, для першого стовпця маємо:

і т.д.

Перетворені елементи третього (відміченого) стовпця отримуються за допомогою множення початкових елементів на = 0,5. Наприклад,

Відмітимо, що останній рядок матриці В повинен мати вигляд

0 0 1 0.

Для контролю поповнюємо матрицю В перетвореними по аналогічних двочленних формулах з відповідними елементами стовпця ?. Наприклад,

Отримані результати записуємо в стовпці ? у відповідних рядках. Додавши до них елементи третього стовпця, одержимо контрольні суми

для рядків 5-8 (стовпець ?).

Перетворення ,що проведене над матрицею і що дає матрицю , змінює лише третій рядок матриці В, тобто сьомий рядок таблиці. Елементи цього перетвореного рядка 7 виходять по формулі (10), тобто є сумами парних добутків елементів стовпця , що знаходяться в рядках 5-8, на відповідні елементи кожного із стовпців матриці В. Наприклад

і т. д.

Такі ж перетворення проводимо над стовпцем ?:

В результаті одержуємо матрицю C, що складається з рядків 5, 6, 7, 8 з контрольними сумами ?, причому матриця C подібна матриці А і має один зведений рядок 8. Цим закінчується побудова першого подібного перетворення .

Далі, прийнявши матрицю C за вихідну і виділивши елемент (другий стовпець), продовжуємо процес аналогічним чином. В результаті одержуємо матрицю , елементи якої розташовані в рядках 9, 10, 11, 12, що містить два зведені рядки. Нарешті, відправляючись від елементу (перший стовпець) і перетворюючи матрицю D в подібну їй, одержуємо шукану матрицю Фробеніуса Р, елементи якої записані в рядках 13, 14, 15, 16. На кожному етапі процесу контроль здійснюється за допомогою стовпців ? і ?.

Таким чином, матриця Фробеніуса буде мати вигляд:

Звідси віковий визначник, приведений до нормального виду Фробеніуса, запишеться так:

або

.

Виняткові випадки в методі А. М. Данілевського.

Процес А. М. Данілевського [1] відбувається без жодних ускладнень, якщо всі елементи, що виділяються, відмінні від нуля. Ми зупинимося зараз на виняткових випадках, коли ця вимога порушується.

Припустимо, що при перетворенні матриці А в матрицю Фробеніуса Р ми після декількох кроків пришли до матриці вигляду

,

причому виявилось, що .

Тоді продовжувати перетворення по методу А. М. Данілевського не можна. Тут можливі два випадки.

1. Нехай якийсь елемент матриці D, що стоїть ліворуч нульового елемента , відмінний від нуля, тобто , де. Тоді цей елемент висуваємо на місце нульового елементу , тобто переставляємо (k-1) -й і k -й стовпці матриці D і одночасно переставляємо її (k-1) -й і l-й рядки. Можна довести, що одержана нова матриця D буде подібна колишній. До нової матриці застосовуємо метод А.М.Данілевського.

2. Нехай , тоді D має вигляд

У такому разі віковий визначник det(D - Е) розпадається на два визначники

det (D - Е) = det (D₁ - Е) det (D₂ - Е).

При цьому матриця D₂ вже приведена до канонічної форми Фробеніуса і тому det (D₂ - Е) обчислюється відразу. Залишається застосувати метод А. М. Данілевського до матриці D₁.

Обчислення власних векторів по методу А. М. Данілевського.

Метод А. М. Данілевського [1] дає можливість визначати власні вектори даної матриці А, якщо відомі її власні значення. Неай -- власне значення матриці А, а отже, і власне значення подібної їй матриці Фробеніуса Р.

Знайдемо власний вектор матриці Р, відповідний даному значенню : Ру = у. Звідси (Р - Е) у = 0 або

Перемножуючи матриці, одержимо систему для визначення координат власного вектора у:

 (1)

Система (1) -- однорідна. З точністю до коефіцієнта пропорційності розвязки її можуть бути знайдені таким чином. Покладемо y_n=1. Тоді послідовно одержимо:

(2)

Таким чином, шуканий власний вектор є

.

Позначимо тепер через х власний вектор матриці А, що відповідає значенню . Тоді, очевидно, маємо:

.

Перетворення M₁, здійснене над y, дає:

Таким чином, перетворення М₁ змінює лише першу координату вектора. Аналогічно перетворення М₂ змінить лише другу координату вектора М₁у і т.д. Повторивши цей процес n-1 разів, одержимо шуканий власний вектор х матриці А.