3.3 Парна регресія

Найбільш простий і одночасно найбільше широко застосовуваний окремий випадок парної регресії розглянемо докладніше. Модель має вигляд

(3.3.1)

Тут x_i - значення фактора (незалежної змінної), - значення відгуку (залежної змінної), - статистичні похибки, - невідомі параметри, оцінювані методом найменших квадратів. Модель (3.3.1) може бути записана у вигляді:

(3.3.2)

якщо покласти

Природно прийняти, що похибки факторів описуються матрицею

У розглянутій моделі інтервального методу найменших квадратів

де X, - спостережувані значення фактора і відгуку, X_R, y_R - істині значення змінних, - погрішності вимірів змінних. Нехай - оцінка методу найменших квадратів, обчислена за спостережуваним значенням змінних, - аналогічна оцінка, знайдена за істинним значенням. Відповідно до раніше проведених міркувань

(3.3.3)

з точністю до нескінченно малих більш високого порядку по і . У формулі (3.3.3) використане позначення . Обчислимо праву частину в (3.3.3), виділимо головний лінійний член і знайдемо нотну.

Легко бачити, що

(3.3.4)

де підсумовування проводиться від 1 до n. Для спрощення позначень надалі і до кінця дійсного пункту не будемо вказувати ці межі підсумовування. З (3.3.4) випливає, що

(3.3.5)

Легко підрахувати, що

(3.3.6)

Покладемо

Тоді знаменник в (3.3.5) дорівнює . З (3.3.5) і (3.3.6) випливає, що

(3.3.7)

Тут і далі опустимо індекс і, по якому проводиться підсумовування. З (3.3.5) і (3.3.7) випливає:

(3.3.8)

де

Обчислимо основний множник в (3.3.3)

 (3.3.9)

де

Перейдемо до обчислення другого члена з в (3.3.3). Маємо

(3.3.10)

де

Складаючи праві частини (3.3.9) і (3.3.10) і помножуючи на у, одержимо остаточний вид члена з в (3.3.3):

(3.3.11)

де

Для обчислення нотни виділимо головний лінійний член. Спочатку знайдемо частинні похідні. Маємо

(3.3.12)

Якщо обмеження мають вигляд

то максимально можливе відхилення оцінки а* параметра а через погрішності таке:

(3.3.13)

де похідні задані формулою (3.3.12).