1. Постановка задачи

Уравнение (1`) называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

Основная первая краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом [1]:

Найти функцию u(х,у), непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению (1) или (1`) внутри S и граничным условиям на С:

,

где и непрерывные функции.

Задан круг S_R радиуса R с центром в начале координат и границей С. В этом круге S_R рассматривается краевая задача для бигармонического уравнения:

(1)

где дифференциальный оператор

и int S_R - внутренность круга.

Предполагая, что значения g и h неизвестны, но известно решение на простой замкнутой гладкой кривой L, лежащей внутри круга S_R, т.е. известно значение функции u(х,у) и значение производной функции u(х,у) по внешней нормали на кривой L. Кривая L определена параметрически как x = x(t), y = y(t), t []. Функции x = x(t), y = y(t) - непрерывно дифференцируемы на [].

(1*)

где (t) и (t) непрерывные функции.

Требуется найти решение в круге S_R.

Таким образом, имеем обратную краевую задачу о восстановлении решения по заданной информации внутри области.

2. Сведение обратной задачи к системе двух интегральных уравнений

Рассмотрим бигармоническое уравнение

внутри S_R

и замкнутую гладкую кривую

с непрерывно дифференцируемыми x(t), y(t) и известными значениями решения u(x,y) на L:

при . Здесь функции g, h - предполагаются неизвестными.

Так как начало координат совпадает с центром окружности, то по [1] воспользуемся известным представлением решения задачи (1) для круга:

, (2.2)

где

;

, ( r, - полярные координаты)

Введём обозначения:

Тогда формула (2.2) запишется в виде:

Для определения функций h и g воспользуемся условиями (1.4), (1.5):

(2.3)

(2.4)

Введём вектора , X = (h,g)^T и матрицу:

Запишем систему уравнений (2.3), (2.4) в виде одного векторно-матричного интегрального уравнения:

(2.5)

Тем самым получили интегральное уравнение Фредгольма I рода. Как известно решение такого уравнения является некорректной задачей.

Найдя вектор X из (2.5) и подставив в формулу (2.2) получим решение задачи (2.1) по формуле (2.2), описывающей решение внутри круга S_R.