Регуляризация обратной задачи бигармонического уравнения

курсовая работа

4. Корректно и некорректно поставленные задачи

Математической моделью многих практических задач является линейное уравнение Az = u (4.1), где z - искомый элемент и u - правая часть принадлежат соответствующим нормированным пространствам Z, U; А - линейный оператор, действующий из Z в U.

Среди задач (4.1) выделяется класс задач некорректно поставленных.

Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений.

Следуя Тихонову А.Н., задача (4.1) называется корректно поставленной, или просто корректной, если выполняются следующие условия:

решение задачи (4.1) существует для любого элемента u U;

решение определено однозначно по u;

решение задачи устойчиво, т.е. для любой точности > 0 можно указать такое () > 0, что если , то |||| < , где и решения (3.1), соответствующие правым частям и .

Если оператор А обратим и ограничен, т.е. существует оператор , то

z = Au и R=A. Условие 3) означает непрерывность оператора R. Если задача (4.1) не удовлетворяет хотя бы одному из условий 1), 2), 3), то она называется некорректной. в случае ограниченного оператора A имеем корректность по Адамару.

Уравнение Фредгольма I рода является некорректной задачей, так как решение задачи не устойчиво [2].

Уточним понятие решения для некорректно поставленных задач. Действительно, если выполняется условие 1), но не выполняется условие 2), то точных решений много. Если же не выполняется 1), то решений вообще нет. В таких случаях говорят о нормальных решениях.

Определение: элемент z называется нормальным решением уравнения Az=u, если ||z||=, где Z -множество всех решений , для уравнения Az=u.

Делись добром ;)