Регуляризация обратной задачи бигармонического уравнения

курсовая работа

5. Метод регуляризации Тихонова А.Н. для решения систем линейных алгебраических уравнений

Пусть в пространстве задана система линейных алгебраических уравнений Ах = b с матрицей А = () и вектором b = (), i,j = l,...,n. Эта система может быть однозначно разрешимой, вырожденной и неразрешимой. Введём в этих случаях понятие псевдорешения [2].

Определение: Псевдорешением системы Ах = b называют вектор х, минимизирующий невязку || Ах-b || = (x) на всём пространстве .

Очевидно, если у системы Ах = b есть решение , то оно же будет и псевдорешением. В этом случае невязка () = 0. Система может иметь не одно псевдорешение. Возникает вопрос о выделении среды псевдорешений какого-либо одного, обладающего определёнными свойствами. Введём понятие нормального решения.

Определение: Вектор называется нормальным решением системы Ах = b, если он имеет минимальную норму среди всех псевдорешений,

т.е. || хн || = inf || х || для всех x FA

(где FA - множество псевдорешений).

|| х || =

Нормальное решение для любой системы Ах = b существует и единственно [4]. Если система имеет единственное решение, то оно же будет и нормальным решением.

Задача нахождения нормального решения некорректна. Поэтому для получения его целесообразно применять регуляризирующий метод, в основе которого лежит идея регуляризирующего оператора [2], [3].

Есть точная система Ах = b и есть приближённая система

Ah х =b,

где || A-Ah || h , || b- b|| .

Требуется найти вектора ха, где , такие, что || хан || = 0. Эти вектора ха называются приближениями к нормальному решению хн уравнения Ах = b. Их можно находить путём минимизации функции Тихонова А.Н.:

В [2] показывается, что для любых и матриц Ah: || A-Ah || h, чисел > 0 существует единственный вектор ха, минимизирующий функцию Тихонова А.Н. Та(х, b, Ah) на всём пространстве. При этом вектор ха удовлетворяет уравнению:

gradx Та(х, b, Ah) = 0 или

AhTAhxa + xa=AhTb (4.1)

Устанавливается также в [2], что для всех > 0 определён оператор

R(b, Ah,) = xa, который будет регуляризирующим. Именно существует зависимость , при которой вектора xa = R(b, Ah,) сходятся к нормальному решению системы Ах = b при h, --> 0. Эти ха находятся из системы (4.1) для заданного уровня погрешностей h, .

Определение: Оператор R(b, A,), зависящий от параметра , со значениями в Rn, называется регуляризирующим оператором для уравнения

Ах = b, если он обладает свойствами [2], [3]:

1)существует такая пара положительных чисел (), что оператор

R(b, Ah,) определён для всякого > 0 и любых и матриц Ah размера (nn): || b-b ||, || Ah-A ||;

2)существует такая функция , , что для любого > 0найдётся пара чисел , такая, что если

при || Ah-A || h h(),|| b-b ||, будет || ха0||,

где ха = R(b, Ah,) , х0 - точное решение системы Ах = b.

В этом определении не предполагается однозначность оператора

R(b, A,), отметим, что функция зависит от b и Ah .

Итак, в качестве приближённых решений уравнения Ahx = b можно брать значения регуляризирующего оператора: ха = R(b, Ah,), где пара-

метр регуляризации согласован с погрешностью исходных данных Ah, b. Полученные таким образом регуляризованные решения устойчивы к малым изменениям исходных данных.

Выбор параметра регуляризации по обобщенной невязке.

1) Введём функцию , называемую обобщённой невязкой:

где - мера несовместимости системы , для всех х . Очевидно, что если система Ahx = b имеет решение, то = 0.

Обобщенный принцип невязки для выбора параметра регуляризации :

а) пусть выполнено условие и для любого > 0 векторха определяется из системы (4.1). Тогда обобщённая невязка определена при всех > 0 и имеет положительный корень * > 0 или = 0. В этом случае приближённое решение уравнения Ах = b полагается ха*;

б) если же , то полагаем приближённое решение системы Ах = b равным нулю.

Показывается в [2] и [3], что для || Ah-A || h, || b-b || и , выбранному согласно принципу обобщённой невязки, будет при ,h 0.

2) Устанавливается, что обобщённая невязка - строго возрастающая функция. Поэтому для нахождения корня *: = 0 можно сделать следующее. Берётся конечный отрезок монотонной последовательности чисел , например, отрезок геометрической прогрессии

ak = aoqk, k= l,...,n; 0<q< 1 .

Для каждого значения ak находится вектор xak из решения уравнения (4.1) и вычисляется

p(ak) = || Ahxak-b||2 - (+ h||xak||)2 - .

За * берётся такое k*, для которого с требуемой точностью выполняется неравенство | (k*)| < . Тогда за приближённое решение системы Ах= b берём ха*к. Корень *, для которого = 0, можно находить, используя метод половинного деления.

Если система имеет решение, то = 0 и обобщённая невязка имеет вид: = || Ahxa-b||2 - (+ h||x||)2.

Замечание: В [3] устанавливается, что в принципе невязки можно не учитывать (т.е. положим = 0), поэтому можно записать:

= || Ahxa-b||2 - (+ h||x||)2

Для нашей задачи в системе уравнений Ах = b мы будем возмущать лишь правую часть (п.5), поэтому невязка запишется следующим образом:

(5.1)

Делись добром ;)