Власні значення і власні вектори матриці

курсовая работа

2.5 Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці

Для відшукання першого власного значення дійсної матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків

і

де А -- матриця, транспонована з матрицею А, і у0 -- вибраний яким-небудь чином початковий вектор.

Переходимо тепер до викладу самого методу.

Нехай А -- дійсна матриця і -- її власні значення, які передбачаються різними, причому

Візьмемо деякий ненульовий вектор у0 і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій

(1)

Для вектора у0 утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А другу послідовність ітерацій

(2)

де .

Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Еп виберемо два власні базиси і відповідно для матриць А і А, що задовольняють умовам біортонормування:

(3)

де і . Позначимо координати вектора у0 в базисі через , а в базисі -- через тобто

і

Звідси

(4)

І

()

Складемо скалярний добуток

Звідси через умову ортонормування знаходимо:

(5)

Аналогічно

(6)

Отже, при маємо:

Таким чином,

(7)

Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А=А, і ми маємо просто

(8)

і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність .

Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці

Розвязання. Оскільки матриця А -- симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій .

Вибираючи за початковий вектор

можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:

і

Звідси

І

Отже,

що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А10у0.

Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння

(9)

Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці

тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню

Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при ,вважаючи , одержимо:

(10)

Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).

Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.

Нехай власні значення матриці А такі, що

(1)

тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення і матриці А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення і власний вектор , що відповідає йому.

З формули (2) маємо:

(2)

І

(3)

Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять . Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:

(4)

Введемо позначення

(5)

причому вираз (5) називатимемо - різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність

(6)

Звідси

(7)

Нехай

З формул (6) і (7) виводимо:

(8)

Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення . Відмітимо, що на практиці зважаючи на втрату точності при відніманні близьких чисел іноді вигідніше номер ітерації k для визначення брати меншим, ніж номер ітерації т для визначення , тобто доцільно вважати:

(9)

де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання над наступними власними значеннями. Формула (9), взагалі кажучи, дає грубі значення для . Відмітимо, що якщо модулі всіх власних значень різні між собою, то за допомогою формул, аналогічних формулі (9), можна обчислити і решту власних значень даної матриці. Проте результати обчислень будуть ще менш надійні.

Що стосується власного вектора , те, як витікає з формули (6), можна покласти:

.

(10)

Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння.

Приклад. Визначити подальші власні значення і власні вектори матриці

Розвязання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо:

45433

21141

6 201

202833

93906

27 342

905238

417987

121 248

Складаємо - різниці по формулі

де . Для кожного із стовпців приймається своє значення а саме: = 4,462; = 4,456; = 4,447 (таблиця 2).

Таблиця 2

Обчислення другого власного значення

202833

93906

27 342

202722

94204

27 76

111

- 298

- 234

905238

417987

121 248

905041

418445

121 590

197

- 458

- 342

Звідси одержуємо:

Отже, приблизно можна прийняти:

В якості другого власного вектора можна прийняти:

Нормуючи цей вектор, одержимо:

Оскільки матриця А -- симетрична, то вектори і повинні бути ортогональні між собою. Перевірка дає:

Звідси , що досить неточно.

Третє власне значення знаходимо по сліду матриці А:

Звідси

.

Власний вектор

можна обчислити з умов ортогональності:

Звідси

Або

Після нормування остаточно отримаємо:

Делись добром ;)