Власні значення і власні вектори матриці
2.5 Метод скалярних добутків для знаходження першого власного значення дійсної матриці
Для відшукання першого власного значення дійсної матриці А можна вказати дещо інший ітераційний процес, що є іноді вигіднішим. Метод [1] заснований на утворенні скалярних добутків
і
де А -- матриця, транспонована з матрицею А, і у0 -- вибраний яким-небудь чином початковий вектор.
Переходимо тепер до викладу самого методу.
Нехай А -- дійсна матриця і -- її власні значення, які передбачаються різними, причому
Візьмемо деякий ненульовий вектор у0 і за допомогою матриці А побудуємо послідовність ітерацій
(1) |
Для вектора у0 утворюємо також за допомогою транспонованої матриці А другу послідовність ітерацій
(2) |
де .
Згідно з теоремою 1 розділу X § 16 в просторі Еп виберемо два власні базиси і відповідно для матриць А і А, що задовольняють умовам біортонормування:
(3) |
де і . Позначимо координати вектора у0 в базисі через , а в базисі -- через тобто
і
Звідси
(4) |
І
() |
Складемо скалярний добуток
Звідси через умову ортонормування знаходимо:
(5) |
Аналогічно
(6) |
Отже, при маємо:
Таким чином,
(7) |
Цей метод особливо зручний для симетричної матриці А, оскільки тоді А=А, і ми маємо просто
(8) |
і, отже, тут потрібно побудувати тільки одну послідовність .
Приклад. Методом скалярних добутків знайти найбільше власне значення матриці
Розвязання. Оскільки матриця А -- симетрична, то досить побудувати лише одну послідовність ітерацій .
Вибираючи за початковий вектор
можна використати результати таблиці 27. Наприклад, при k = 5 і k = 6 маємо:
і
Звідси
І
Отже,
що співпадає в написаних знаках із значенням, знайденим раніше за допомогою А10у0.
Зауваження. Методи знаходження найбільшого по модулю кореня характеристичного рівняння можна використовувати для знаходження найбільшого по модулю кореня алгебраїчного рівняння
(9) |
Дійсно, рівняння (9), як легко безпосередньо перевірити, є віковим для матриці
тобто рівняння (9) еквівалентно рівнянню
Якщо рівняння (9) не має нульового кореня, то аналогічним способом може бути визначений найменший по модулю корінь цього рівняння, а саме, при ,вважаючи , одержимо:
(10) |
Зворотна величина найбільшого по модулю кореня рівняння (10), очевидно, дасть нам найменший по модулю корінь рівняння (9).
Знаходження другого власного значення матриці і другого власного вектора.
Нехай власні значення матриці А такі, що
(1) |
тобто є два відмінних один від одного, найбільших по модулю власних значення і матриці А. У такому разі прийомом, аналогічним розібраному вище (§ 11), можна приблизно знайти друге власне значення і власний вектор , що відповідає йому.
З формули (2) маємо:
(2) |
І
(3) |
Виключимо з формул (2) і (3) члени, що містять . Для цього від рівності (3) віднімемо рівність (2), помножену на . В результаті одержимо:
(4) |
Введемо позначення
(5) |
причому вираз (5) називатимемо - різницею від . Якщо , то очевидно, що перший доданок в правій частині рівності (4) є її головним членом при , і ми маємо наближену рівність
(6) |
Звідси
(7) |
Нехай
З формул (6) і (7) виводимо:
(8) |
Користуючись формулою (8), можна приблизно обчислити друге власне значення . Відмітимо, що на практиці зважаючи на втрату точності при відніманні близьких чисел іноді вигідніше номер ітерації k для визначення брати меншим, ніж номер ітерації т для визначення , тобто доцільно вважати:
(9) |
де k- найменше з чисел, при якому починає позначатися переважання над наступними власними значеннями. Формула (9), взагалі кажучи, дає грубі значення для . Відмітимо, що якщо модулі всіх власних значень різні між собою, то за допомогою формул, аналогічних формулі (9), можна обчислити і решту власних значень даної матриці. Проте результати обчислень будуть ще менш надійні.
Що стосується власного вектора , те, як витікає з формули (6), можна покласти:
. |
(10) |
Є розповсюдження даного методу на випадок кратного кореня характеристичного рівняння.
Приклад. Визначити подальші власні значення і власні вектори матриці
Розвязання. Для знаходження другого власного значення приймемо k = 8. Маємо:
45433 21141 6 201 |
202833 93906 27 342 |
905238 417987 121 248 |
Складаємо - різниці по формулі
де . Для кожного із стовпців приймається своє значення а саме: = 4,462; = 4,456; = 4,447 (таблиця 2).
Таблиця 2
Обчислення другого власного значення
202833 93906 27 342 |
202722 94204 27 76 |
111 - 298 - 234 |
905238 417987 121 248 |
905041 418445 121 590 |
197 - 458 - 342 |
Звідси одержуємо:
Отже, приблизно можна прийняти:
В якості другого власного вектора можна прийняти:
Нормуючи цей вектор, одержимо:
Оскільки матриця А -- симетрична, то вектори і повинні бути ортогональні між собою. Перевірка дає:
Звідси , що досить неточно.
Третє власне значення знаходимо по сліду матриці А:
Звідси
.
Власний вектор
можна обчислити з умов ортогональності:
Звідси
Або
Після нормування остаточно отримаємо: