2.6 приклади задач, що зводяться до відшукання власних значень та власних векторів матриці

Задача 1

Дослідимо тривісне напруження стану елемента тіла, представленого на малюнку. Матриця напруги для нього має вигляд

Якщо виходити з того, що руйнування станеться при максимальній напрузі, то необхідно знати величину найбільшого головного напруження яке відповідає найбільшому власному значенню матриці напруги. Для знаходження цієї напруги скористаємося одним методом ітерацій. Одержимо власне значення і такий власний вектор

Задача 2. [12, стор. 70]Для довільного тривимірного твердого тіла можна ввести три моменти інерції відносно трьох взаємно перпендикулярних осей і три змішані моменти інерції відносно трьох координатних площин. Відомо, що для несиметричного тіла при фіксованому початку координат існує єдина орієнтація координатних осей, при якій змішані моменти інерції обертаються в нуль. Такі осі називаються головними осями інерції, а відповідні моменти інерції - головними моментами інерції, серед яких є найбільший, найменший і такий, що має проміжне значення. Для матриці моментів інерції

знайти три головних моменти інерції.

Задача 3. [12, стор. 70]Баржа призначена для перевезення через озеро Ері зчепки з шести залізничних вагонів. Буксир тягне її за носову частину, як показано на малюнку. Значення мас вагонів і коефіцієнтів жорсткості сполучних елементів вказані під малюнком. Існує побоювання, що в зчепленні вагонів при хвилюванні на озері можуть виникнути резонансні продольні коливання. Обчислити шість власних частот даної механічної системи і порівняти їх з частотою хвилі, рівній 1 рад/с. Власні частоти повязані з власними значеннями динамічної матриці D співвідношенням

Динамічна матриця утворюється із матриць жорсткості [К] і мас [M]

.

Задача 4. [12, стор. 71] Консольний брус довжиною 10 м, що має згинну жорсткість і погону масу 10 кг/м, апроксимується двома точковими масами по 50 кг кожна, що розташовані в центрі та на вільному кінці бруса.

Потрібно знайти дві основні частоти коливань бруса. Це можна зробити, знаючи власні значення динамічної матриці та маючи на увазі, що

.

-- діагональна матриця, на діагоналі якої стоять маси точок;

-- матриця згину, в якій елементи і-го рядка являють собою відхилення точки j під дією одиничної сили, що прикладена до точки і. Осьова сила відсутня. Деформаціями здвигу можна знехтувати.