Общие понятия и определения

Определение:

Дифференциальным уравнением порядка n называется соотношение, связывающее независимое переменное, его функцию и ее производные до n-го порядка включительно. Его общий вид:

В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно старшей производной y ^(n):

где функция предполагается быть непрерывной в некоторой области изменения свих аргументов.

Решением уравнения на интервале называется функция , удовлетворяющая условиям:

1. непрерывно дифференцируема раз на I;

2.

3. обращает уравнение в тождество, т.е.

Функция или может и не зависеть от некоторых из аргументов но, во всяком случае, уравнение n-го порядка должно содержать производную n-го порядка.

Так же как и уравнение первого порядка, уравнения высших порядков имеют бесконечное количество решений. 3

Определение:

Нахождение решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям , называется решением задачи Коши.

Задачей Коши (или начальной задачей) для уравнения называется задача нахождения этого уравнения, удовлетворяющего начальным условиям:

где , - заданные числа.

Теорема Пеано:

Если функция непрерывна в области , то для любой точки существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям .

Существование и единственность решения задачи Коши гарантирует следующая теорема. 4

Теорема Коши-Пикара:

Если функция непрерывна в области и удовлетворяет условию Липшица по переменным , то для любой точки существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям .

Условия теоремы Коши-Пикара выполняются, в частности, если функция непрерывна на и имеет в окрестности точки ограниченные частные производные по .

Пусть - область, в каждой точки которой задача Коши для уравнения имеет единственное решение. Функция , где - произвольные постоянные, называется общим решением уравнения в области , если:

1. функция имеет непрерывные частные производные по до n-го порядка включительно;

2. для любой точки система

единственным образом разрешима относительно

(*)

3. функция является решением уравнения при любых значениях произвольных постоянных в равенствах (*), когда точка () принадлежит области D.

Если общее решение в области D заданно неявно соотношением:

дифференциальное уравнение высший порядок

то называется общим интегралом уравнения в области D.

Любое решение, получаемое из при конкретных числовых значениях , называется частным решением уравнения

Аналогично вводится понятие частного интеграла. Если известно общее решение или общий интеграл , то решить задачу Коши можно следующим способом: из соотношений и и тех, которые получаются из них (n-1) - кратным дифференцированием по x с использованием начальных условий , получаем систему для определения .

Решив эту систему и подставив конкретные значения в или в , получим решение задачи Коши:

,

или частный интеграл , с помощью которого неявно задано решение задачи Коши.

Если в равенстве учесть явный вид зависимости от , то получим общее решение в так называемой форме Коши:

Если соотношения и заданы в виде:

то называют общим интегралом в параметрической форме.

Для уравнения не разрешенного относительно производной , задача Коши ставится аналогично задаче Коши для уравнения

При этом если заданным числам и каждому из значений , определяемых из уравнения:

соответствует только одно решение, то говорят, что задача Коши имеет единственное решение. 2

Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравнения):

Пусть функция F непрерывна в области G и имеет непрерывные частные производные по . Тогда для любой точки такой, что

существует единственное решение уравнения , определенное в некоторой окрестности точки и удовлетворяющее условиям . 2

Пример 1:

Показать, что функция заданная уравнением является решением уравнения

Решение:

Находим . Имеем:

Подставим наши вычисления в , и тогда получим:

Следовательно, функция является решением данного уравнения. 5

Пример 2:

Показать что функция , параметрически заданна системой уравнений:

Является решением уравнения:

Решение:

Находим . Имеем:

Подставим получившееся результаты в уравнение

Следовательно, функция является решением данного уравнения. 1