Решение дифференциальных уравнений высших порядков

курсовая работа

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Структура общего решения. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение

имеет постоянные коэффициенты p и q.

Будем искать частное решение уравнения в форме , где k - постоянное число, подлежащее определению. Из имеем и .

Подставляя в уравнение , получаем

Или, сокращая на множитель , который не равен нулю, находим

Квадратное уравнение , из которого определяется k, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Заметим, что для написания характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и функцию y заменить на соответствующее степени величины k, рассматривая при этом функцию y как производную нулевого порядка. 1

Определение.

Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.

Определение.

Если из функций yi составить определитель n - го порядка

,

то этот определитель называется определителем Вронского.

(Юзеф Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик)

Теорема:

Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.

Теорема:

Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.

Теорема:

Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.

Теорема.

Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.

где Ci - постоянные коэффициенты. 2

Пример:

Решить уравнение

Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с помощью подстановки .

Тогда

Окончательно получаем

Делись добром ;)