Решение дифференциальных уравнений высших порядков
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Структура общего решения. Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение
имеет постоянные коэффициенты p и q.
Будем искать частное решение уравнения в форме , где k - постоянное число, подлежащее определению. Из имеем и .
Подставляя в уравнение , получаем
Или, сокращая на множитель , который не равен нулю, находим
Квадратное уравнение , из которого определяется k, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Заметим, что для написания характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и функцию y заменить на соответствующее степени величины k, рассматривая при этом функцию y как производную нулевого порядка. 1
Определение.
Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение.
Если из функций yi составить определитель n - го порядка
,
то этот определитель называется определителем Вронского.
(Юзеф Вронский (1776 - 1853) - польский математик и философ - мистик)
Теорема:
Если функции линейно зависимы, то составленный для них определитель Вронского равен нулю.
Теорема:
Если функции линейно независимы, то составленный для них определитель Вронского не равен нулю ни в одной точке рассматриваемого интервала.
Теорема:
Для того, чтобы система решений линейного однородного дифференциального уравнения была фундаментальной необходимо и достаточно, чтобы составленный для них определитель Вронского был не равен нулю.
Теорема.
Если - фундаментальная система решений на интервале (a, b), то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения является линейной комбинацией этих решений.
где Ci - постоянные коэффициенты. 2
Пример:
Решить уравнение
Это уравнение не является линейным, понизим порядок уравнения с помощью подстановки .
Тогда
Окончательно получаем