Решение задачи обтекания кругового цилиндра идеальной жидкостью в кватернионах

курсовая работа

1.4 Геометрическая интерпретация

Трехмерность мнимой (векторной) части кватерниона очень удачно подходит к наблюдаемому нами трехмерному пространству. При использовании кватернионов в задачах вращения радиус-вектор точки в пространстве сопоставляется с точкой в пространстве кватернионов по компонентно [9] и показанного в формуле 1.18:

, (1.18)

где - радиус вектор;

,, - радиус векторы на оси соответственно.

При этом действительную (скалярную) часть кватерниона полагают равной нулю. Как и в случае применения векторной алгебры, при применении кватернионов также можно использовать квадрат модуля вектора, скалярное и векторное произведение векторов использование данных операция [9] показано на формуле 1.19:

, (1.19)

где - действительная часть кватерниона;

- мнимая часть кватерниона;

- скалярная часть кватерниона;

- векторная часть кватерниона.

Вторым применением кватернионов в геометрической интерпретации является использование кватерниона в виде оператора преобразования и умножения кватернионов в качестве воздействия оператора преобразования на радиус- вектор точки [5]. При физическом моделировании кватерниону радиус-вектора и оператору преобразования приписывается размерность физической величины, метры и безразмерно соответственно. Также при оперировании пространственными преобразованиями будут использоваться величины, имеющие размерность плоского угла. Следует иметь в виду, что данная методика рассматривает только пространственную часть наблюдаемого пространства, и только в евклидовом приближении. [9] Так же возможна при решение задач использовать евклидова пространства, причем без применения дополнительных промежуточных проекций либо условных углов, с решением прямой и обратной задачи. Многие теоретики и просто любители математики с неудовольствием встречают отказ от применения изворотливых решений с остроумными промежуточными проекциями, но есть задачи, когда надо просто показать решение, а не находить интересные способы решения.

1.5 Модуль

Модуль кватерниона имеет вид 1.20:

, (1.20)

где - сопряженный кватернион.

В компонентах модуль кватерниона выражается формулой 1.21

(1.21)

Модуль кватерниона равен нулю только в том случае, если все компоненты кватерниона равны нулю [7]. Для модуля кватерниона верно равенство 1.22

(1.22)

Модуль сопряженного кватерниона равен его модулю, так как кватернион, дважды сопряженный, равен самому себе [6] и имеет вид 1.23

(1.23)

Для модуля кватерниона верно неравенство (1.24):

(1.24)

Для любого кватерниона любой его компонент по абсолютному значению меньше или равен модулю кватерниона [5].

Делись добром ;)