Решение краевой задачи обыкновенного дифференциального уравнения
3. ХОД ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью Е = 10 -3; шаг h = 0,1:
Разбив отрезок [0,8; 1,1] на части с шагом h = 0,1, получим 4 узловые точки с абсциссами х0 = 0,8, х1 = 0,9, х2 = 1,0, х3 = 1,1.
Две точки х0 и х3 являются конечными, а две другие - х1 и х2 - внутренними.
Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:
Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:
краевой задача прогонка метод
Конечно-разностные уравнения получаем таким образом:
Данную задачу сводим к решению системы уравнений:
Преобразуя систему и учитывая, что у3 = 1,6 получаем:
Для решения полученной системы воспользуемся методом Гаусса:
Решение СЛАУ методом Гаусса:
Запишем систему в виде расширенной матрицы:
101.67 |
-199.1 |
98.33 |
0.9 |
|
0 |
-101.67 |
201 |
-156.33 |
|
8 |
-5 |
0 |
1 |
Для удобства вычислений поменяем строки местами:
0 |
-101.67 |
201 |
-156.33 |
|
8 |
-5 |
0 |
1 |
|
101.67 |
-199.1 |
98.33 |
0.9 |
Умножим 2-ую строку на (-12.70875). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0 |
-101.67 |
201 |
-156.33 |
|
0 |
-135.56 |
98.33 |
-11.81 |
|
101.67 |
-199.1 |
98.33 |
0.9 |
Умножим 1-ую строку на (-1.333296449296). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0 |
0 |
-169.66 |
196.63 |
|
0 |
-135.56 |
98.33 |
-11.81 |
|
101.67 |
-199.1 |
98.33 |
0.9 |
Из 1-ой строки выражаем x3; Из 2-ой строки выражаем x2; Из 3-ой строки выражаем x1
Получаем:
x1 = -35.17/101.67 = -0.35
x2 = 102.15/-135.55625 = -0.75
x3 = 196.63/-169.6625863085 = -1.16
Реализация алгоритма решения СЛАУ методом Гаусса представлена в Приложении.