Решение краевой задачи обыкновенного дифференциального уравнения

контрольная работа

3. ХОД ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Используя метод конечных разностей, составить решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения с точностью Е = 10 -3; шаг h = 0,1:

Разбив отрезок [0,8; 1,1] на части с шагом h = 0,1, получим 4 узловые точки с абсциссами х0 = 0,8, х1 = 0,9, х2 = 1,0, х3 = 1,1.

Две точки х0 и х3 являются конечными, а две другие - х1 и х2 - внутренними.

Исходное уравнение во внутренних точках заменим конечно-разностным уравнением:

Из краевых условий составим конечно-разностные уравнения в конечных точках:

краевой задача прогонка метод

Конечно-разностные уравнения получаем таким образом:

Данную задачу сводим к решению системы уравнений:

Преобразуя систему и учитывая, что у3 = 1,6 получаем:

Для решения полученной системы воспользуемся методом Гаусса:

Решение СЛАУ методом Гаусса:

Запишем систему в виде расширенной матрицы:

101.67

-199.1

98.33

0.9

0

-101.67

201

-156.33

8

-5

0

1

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

0

-101.67

201

-156.33

8

-5

0

1

101.67

-199.1

98.33

0.9

Умножим 2-ую строку на (-12.70875). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0

-101.67

201

-156.33

0

-135.56

98.33

-11.81

101.67

-199.1

98.33

0.9

Умножим 1-ую строку на (-1.333296449296). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0

0

-169.66

196.63

0

-135.56

98.33

-11.81

101.67

-199.1

98.33

0.9

Из 1-ой строки выражаем x3; Из 2-ой строки выражаем x2; Из 3-ой строки выражаем x1

Получаем:

x1 = -35.17/101.67 = -0.35

x2 = 102.15/-135.55625 = -0.75

x3 = 196.63/-169.6625863085 = -1.16

Реализация алгоритма решения СЛАУ методом Гаусса представлена в Приложении.

Делись добром ;)