1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала

Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения в нижнее положение за минимум времени (см. рисунок 1). Эта задача сводится к отысканию исходной функции - брахистохроны.

Рисунок 1 - Задача о брахистохроне

Пусть уравнение кривой есть. Рассмотрим некоторый момент времени , и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии от оси . Тогда, где - скорость движущейся точки, - ускорение свободного падения. В то же время:

Отсюда следует, что

Обозначим через время, в течение которого материальная точка достигает точки . Интегрируя, находим

Задача сводится к следующему: надо найти функцию, удовлетворяющую условию и сообщающую интегралу наименьшее значение. Условия означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки и . Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.

Данная задача относится к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением. Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.