1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала
Зарождение вариационного исчисления относят обычно к 1696 г., когда И. Бернулли поставил так называемую задачу о брахистохроне: определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения в нижнее положение за минимум времени (см. рисунок 1). Эта задача сводится к отысканию исходной функции - брахистохроны.
Рисунок 1 - Задача о брахистохроне
Пусть уравнение кривой есть. Рассмотрим некоторый момент времени , и пусть в этот момент движущаяся точка находится на расстоянии от оси . Тогда, где - скорость движущейся точки, - ускорение свободного падения. В то же время:
Отсюда следует, что
Обозначим через время, в течение которого материальная точка достигает точки . Интегрируя, находим
Задача сводится к следующему: надо найти функцию, удовлетворяющую условию и сообщающую интегралу наименьшее значение. Условия означают, что искомая кривая должна проходить через заданные точки и . Такого типа условия принято называть граничными, или краевыми, так как они относятся к концам промежутка, на котором должна быть определена искомая функция.
Данная задача относится к ветви математического анализа, называемой вариационным исчислением. Примером применения кривой в виде брахистохроны служит образующая цилиндрических поверхностей, используемых на детских площадках, в аттракционах для спуска с возвышения, на трамплинах.
- Введение
- 1. Вариационное исчисление
- 1.1 Понятие функционала
- 1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала
- 1.3 Первая вариация функционала
- 1.4 Необходимое условие минимума функционала
- 1.5 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами
- 1.6 Пути решения вариационных задач
- 2. Прямые методы вариационного исчисления
- 2.1 Метод Ритца
- 2.2 Практическое применение метода Ритца для решения вариационных задач
- 2.2.1 Решение краевой задачи Дирихле (1-го рода)
- 2.2.2 Решение краевой задачи Неймана (2-го рода)
- 2.2.3 Решение смешанной краевой задачи (3-го рода)
- Заключение
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- §14. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- 54. В чем состоит метод Ритца?
- 5.6. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.