2.2.2 Решение краевой задачи Неймана (2-го рода)
Имеем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
Граничные условия, которого:
Исходная задача эквивалентна нахождению функции, удовлетворяющей граничным (краевым) условиям и минимизирующую функционал.
где - заданная функция, имеющая непрерывные производные по и .
Для граничных условий задача эквивалентна частному случаю краевой задачи Неймана (2-го рода). Общий вид которой:
Условия экстремума:
и граничные условия
Для того чтобы функционал достигал на функции экстремума, необходимо, чтобы эта функция удовлетворяла уравнению Эйлера и условиям трансверсальности. Функция, которую в дальнейшем необходимо будет подставить в функционал, должна иметь вид
Проверим, удовлетворяет ли функция уравнению Эйлера и условиям трансверсальности:
Запишем исходную задачу в вариационной формулировке:
Имеем одну фиксированную точку , а другую - подвижную. Для первой должно выполняться условие а для второй точки - условие как условие трансверсальности.
Последнее будет выполняться автоматически, реализуя условия минимума функционала. Поэтому в соответствии с
в данном случае , а в качестве - любые линейно независимые функции, равные нулю при .
Положим
Подставим функцию в функционал интегрируя, получим функцию , зависящую от неизвестных коэффициентов, но уже не зависящую от
Решим задачу минимизации функции трех переменных для
Получим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными
Решая данную систему, мы находим неизвестные коэффициенты
Таким образом, приближенное решение данной задачи имеет вид (см. приложение Б)
Процесс сходимости и точность решения отражены в таблице 2.
Таблица 2
2.0 |
||||||||
0.919486 |
0.943589 |
0.965042 |
0.983846 |
1.0 |
-0.7813694156 |
0.02737674162 |
||
0.922126 |
0.939341 |
0.693392 |
0.986279 |
1.0 |
-0.7817609074 |
0.00946810176 |
||
0.922457 |
0.938455 |
0.964549 |
0.986425 |
1.0 |
-0.7818337295 |
0.00262807040 |
||
0.922484 |
0.938677 |
0.964613 |
0.986253 |
1.0 |
-0.7818408301 |
0 |
- Введение
- 1. Вариационное исчисление
- 1.1 Понятие функционала
- 1.2 Задачи, приводящие к экстремуму функционала
- 1.3 Первая вариация функционала
- 1.4 Необходимое условие минимума функционала
- 1.5 Уравнение Эйлера. Связь между вариационной и краевой задачами
- 1.6 Пути решения вариационных задач
- 2. Прямые методы вариационного исчисления
- 2.1 Метод Ритца
- 2.2 Практическое применение метода Ритца для решения вариационных задач
- 2.2.1 Решение краевой задачи Дирихле (1-го рода)
- 2.2.2 Решение краевой задачи Неймана (2-го рода)
- 2.2.3 Решение смешанной краевой задачи (3-го рода)
- Заключение
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (оду)
- §14. Численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- 54. В чем состоит метод Ритца?
- 5.6. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
- Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
- Тема 5. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.