1. Решение первой краевой задачи уравнения Пуассона. Функция Грина

Пусть u удовлетворяет уравнению Пуассона в замкнутой области D. Согласно фундаментальной формуле

(1)

Пусть - гармоническая функция в области D, тогда

(2)

Складывая (1) и (2), получаем :

,

где

.

Если удастся определить v так, чтобы на поверхности удовлетворялось равенство , то G на поверхности будет равно нулю, и так как u на поверхности задана, то получим явную форму решения первой краевой задачи:

.

Функция G называется функцией Грина или функцией источника. Она удовлетворяет следующим условиям :

1) Функция G удовлетворяет уравнени Лапласа в области D всюду, кроме точки , где она имеет особенность вида .

На границе области .

Эти два условия определяют функцию.

Функция Грина симметрична относительно точек и :

.

Построение функции Грина сводится к решению первой краевой задачи для функции v, принимающей на границе области значение ; таким образом, решив для функции v первую краевую задачу с условиями специального вида, можно находить решение первой краевой задачи для уравнений Лапласа и Пуассона с любыми граничными условиями.