2.2 Метод функций Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай)

Метод функции Грина базируется на формуле Грина, являющейся следствием формулы Остроградского - Гаусса

(11)

где S - граница области V, - единичный вектор внешней нормали к S, - проекция вектора A на направление n.

Пусть и - две любые дважды дифференцируемые функции и

.

Тогда

.

Поскольку скалярное произведение градиента функции на единичный вектор равно производной функции по направлению этого вектора, то

Поэтому выражение для примет вид

.

Перейдем теперь к вычислению divA :

.

Преобразуем каждое из выражений в правой части :

и аналогично

.

Поэтому

.

Подставляя выражения для и через u и v в формулу (11), получим формулу Грина

(12)

Нам понадобится, однако, обощение этой формулы на тот случай, когда область ограничена не одной, а двумя поверхностями. Пусть область W ограничена снаружи замкнутой поверхностью S, а изнутри замкнутой поверхностью , лежащей целиком внутри S (так что W - это часть внутренности S, внешеняя относительно ). Тогда формула Остроградского-Гаусса (11) запишется в виде

где - единичный вектор внешней нормали к , т.е. вектор, напавленный внутрь (внутренность не пренадлежит W и поэтому является областью, внешней относительно W). Соответственно формула Грина (12) примет вид

. (13)

Эта формула и служит основой метода функции Грина решения задачи Дирихле в пространстве.

Введем теперь определение самой функции Грина для трехмерного случая. В качестве S возьмем границу Г области , для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку , которую окружим сферой радуса с центром в A. При этом мы предположим, что сфера целиком лежит внутри Г. Тогда между и Г мы имеем область W. Обозначим, далее, через P(x,y,z) любую точку области , отличную от A, и через - расстояние между точками A и P.

.

Легко проверить, что функция

является гармонической, т.е. удовлетворяет уравнению Лапласа , во всех точках, кроме самой точки A, в которой она обращается в бесконечность

Действительно,

;

аналогично

,

и

.

Еще проще в этом можно убедиться, если рассмотреть лапласиан в сферической системе координат с началом в точке A; тогда и , так как и не зависит от и .

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле для области с краевым условием

. (14)

Согласно определению функции - гармоническая уже во всей области , в то время как - гармоническая только в области W, получающейся удалением из области сферы , содержащей точку A (таким образом, область W не содержит точки A). Поясним это простым примером. Пусть - шар радиуса 1 с центром в начале координат, Г - его граница и точка A совпадает с началом координат. Тогда и . В то же время функция, принимающая на Г значения, равные 1, и гармоническая во всем шаре, будет, тождественно равна единице : (это особенно ясно из физических соображений: если температура в точках тела не меняется с течением времени, а на границе тела постоянна, то она вообще будет величиной постоянной). Этим примером подчеркивается, что функции и совпадают, вообще говоря, только на границе Г.

. (15)

Обратим внимание на то, что функция Грина зависит как от координат x,y,z текущей точки P, так и от координат произвольно выбранной, но фиксированной точки A.

Особо отметим, что, в силу условия (14), функция Грина на границе Г обращается в нуль:

. (14)

Пусть теперь u - искомая гармонческая функция в области , принимающая на границе Г значения ; положим v=G и применим к области W формулу Грина (13). Тогда, ввиду того что в этой области и , правая часть формулы Грина обращается в нуль, и мы получим следующее равенство :

. (17)

Второй из этих интегралов в силу равенства (16) и условия сведется к

Для вычисления первого интеграла введем систему сферических координат с началом в точке A. Тогда на

.

Следовательно, равенство (17) перепишется в виде

.

Первая часть этого равенства, очевидно, не зависит от . Поэтому она должна быть равна также и пределу левой части при :

. (18)

Чтобы вычислить этот предел, заметим, что по формуле (15) . Тогда

.

Функции u и - гармонические во всей области , включая точку A. Поэтому они вместе со своими производными ограничены. Это значит, что

.

Со вторым интегралом дело обстоит сложнее, так как и неограничено возрастают при . Найдем предел каждого слагаемого в отдельности :

Так как функця u непрерывна, то . Считая возможным переход к пределу под знаком интеграла, получим

.

Далее, в силу ограниченности

Таким образом, предел в левой части равенства (18) есть просто , так как при r=0 в качестве аргументов функции u мы получаем координаты точки A. Теперь формула (18) принимает окончательный вид:

. (19)

Эта формула дает решение задачи Дирихле в пространстве, если известна функция Грина G; действительно, мы получили значение искомой функции u в любой точки A области .