Решение краевых задач. Метод функции Грина

2.3 Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай)

Здесь метод функции Грина также основывается на формуле Грина, аналогичной формуле (10), а именно :

, (20)

где C - замкнутая кривая на плоскости, ограничивающая область D, а и - производные по направлению внешней нормали к C.

Эта формула может быть получена из формулы (12), примененной к цилиндру высоты 1, построенному на C как на напраляющей с образующими, параллельными оси z. Тогда, поскольку u и v не зависят от z,

,

а

(плюс интегралы на основании цилиндра, которые, однако, равны нулю, так как на верхнем основании , на нижнем , а ).

Отметим, что фомула (20) может быть выведена из формулы Грина на плоскости.

Нам нужна обобщенная формула Грина, аналогичная формуле (13), а именно :

, (21)

где - замкнутая кривая, лежащая внутри С, а E - двухсвязная область, заключенная между кривыми и С. Как и в пространственном случае под направлением вектора понимается направление внешней нормали к кривой .

Функция Грина на плоскости вводится теперь следующим образом. В качестве кривой С возьмем границу Г области D, для которой мы решаем задачу Дирихле, и выберем внутри Г произвольную, но фиксированную точку ; за контур примем окружность радиуса с центром в точке А. При этом мы предположим, что окружность целиком внутри Г. Тогда между и Г мы имеем область Е. Обозначим вновь через P(x,y) любую точку области D, отличную от А, и через - расстояние между точками A и P:

.

Проверим, что функция

является гармонической, т.е. удовлетворяет уравнению .

Действительно,

и

.

Аналогично

и

В этом можно также убедиться, если рассмотреть лапласиан в полярной системе координат с началом в точке A (см. (5)); тогда и , так как и не зависит от .

Отметим, что функция - гармоническая в области E (так как эта область не содержит точку А).

Обозначим, далее, через решение задачи Дирихле для области D с краевым условием

. (22)

функция - гармоническая уже во всей области D.

Тогда функция Грина для области D будет иметь вид

. (23)

Как и в трехмерном случае, функция Грина и здесь зависит от координат точек P и A, и по определению (23) и условию (22)

. (24)

Для искомой гармонической функции u, удовлетворяющей условию , и функции v=G запишем формулу (21), правая часть которой обратится в нуль (так как ) :

, (25)

причем в силу равенства (24)

.

Введем полярные координаты с началом в точке A. Тогда на окружности справедливы соотношения и . Учитывая все это, мы можем переписать формулу (25) в виде

, (26)

так как .

Поскольку правая часть равенства (26) не зависит от , то в левой части можно перейти к пределу при аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пункте (см. (18)). Подставим G из формулы (23); разбивая интеграл в левой части формулы (26) на два слагаемых и учитывая, что функции и их производные ограничены в области D, получим, что искомый предел равен

,

так как при , а .

Поэтому

. (27)

Эта формула дает решение задачи Дирихле на плоскости, если известна функция Грина G.