Решение некоторых уравнений и неравенств с параметром

контрольная работа

2. Алгоритм решения

· Алгоритм решения уравнения с параметром аналитически.

1. Определяют ограничения, налагаемые на значения неизвестного x и параметра a, вытекающие из того, что функции и арифметические операции в F (x, a) имеют смысл.

2. Определяют формальные решения (1), записываемые без учета ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось Oa. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение.

3. Исключают те значения параметра, при которых формальные решения не удовлетворяют полученным ограничениям.

4. На числовую ось Oa добавляют значения параметра, найденные в п.3. Для каждого из промежутков на оси Oa записывают все полученные решения в зависимости от значений параметра a. (В случае достаточно простых уравнений п.4 можно опустить).

5. Выписывают ответ, т.е. записывают решения в зависимости от значений параметра a.

Замечание. 1) Наличие параметра в задаче предполагает специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ для любого допустимого значения параметра. Недопустимые значения также указываются в ответе, и считается, что при этих значениях параметра задача не имеет решения. При записи ответа обычно значения параметра перечисляются в порядке возрастания от ?? до +?, но иногда для компактности ответа объединяют промежутки для параметра, на которых формулы решения совпадают.

2) В случае ветвления решения удобно использовать числовую прямую , на которую наносятся контрольные значения параметра, а на промежутках, на которые эти значения разбили прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем не потерять найденные ответы и четко указать значения параметра, которым они соответствуют.

Продемонстрирую сказанное выше на примере.

Пример1.

Для каждого значения параметра решить уравнение (a-1)(a+2) x=a3 +2a2 .

Решение.

Контрольными являются значения параметра a, при которых (a-1)(a+2)=0 , т.е. a=1 и a=?2.

Если (a-1)(a+2)?0, то, поделив обе части уравнения на выражение (a-1)(a+2), получим x= ==.

При a=1 уравнение не имеет решений, т.к. левая часть равна нулю, а правая отлична от нуля.

При a=-2 уравнению удовлетворяет любое x?R, так как уравнение имеет вид 0? x=0.

Ответ. Если a=1, то решений нет; если a=?2, то x? R ; если a?1, a??2, то x=

· Алгоритм решения уравнения с параметром графически.

1. Находим область определения уравнения.

2. Выражаем a как функцию от х.

3. В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

4. Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).

Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

5. Записываем ответ.

Пример №2.

При каких х уравнение имеет единственное решение?

Проведем графический анализ, построив график функции ( полупарабола с вершиной х=-3) и линейной функции ( множество параллельных прямых, с угловым коэффициентом 2).

Рассмотрим схему расположения графиков при различных значениях а, причем с увеличением a прямая у=2х - a перемещается вправо.

Когда прямая является касательной к полупараболе и, начиная с положения, когда прямая переходит через вершину параболы (- 3; 0),мы имеем одну точку пересечения, т. е одно решение исходного уравнения. Напишем уравнение касательной в точке х0

Угловой коэффициент равен 2, т. е. =2 , - абсцисса точки касания

Тогда уравнение касательной , a =

При х=-3, у=0 графики пересекаются в двух точках. При этом а= -6.

А при а > -6 имеем одну точку пересечения.

Ответ:{ } U{-6; } .

Делись добром ;)