Решение нелинейных уравнений методом итераций

реферат

1.3 Геометрический смысл

Будем предполагать, что функции ц(x) и j(x) являются непрерывными. На плоскости X0Y построим графики функции Y=x и Y=ц(x). Каждый вещественный корень x* уравнения является абсциссой точки пересечения кривой Y= ц(x) с прямой Y=x. Начиная с некоторой точки A0(x0, ц(x0)), строим ломаные линии A0B1A1B2A2…(лестница), звенья которой попеременно параллельны оси 0X и оси 0Y, причем вершины A0,A1,A2… лежат на кривой Y=ц(x). Общие абсциссы точек A1 и B1, A2 и B2 … представляют собой последовательные приближения x1, х2,…,хk,… корня x*, которые сходятся к нему монотонно и односторонне.

Рис. 1.

На рис. 1 представлен случай, когда 0<j(x)<1, т.е. угол касательной к графику функции Y=ц(x) меньше 450, т.е. a < 450. Функция Y=ц(x) является возрастающей и вогнутой. Если -1<j(x)<0, то ломаная A0B1A1B2A2… будет иметь вид спирали (рис.2). В этом случае сходимость является двусторонней, т.е. искомый корень всегда принадлежит отрезку [xk,xk+1]. Функция Y=ц(x) является убывающей и вогнутой.

Рис. 2.

Если |j(x)|>1, т.е. угол наклона касательной к кривой ц(x) превышает 450, то в этом случае итерации сходиться не будут (рис.3).

Рис. 3.

Если же |j(x)|<1 в некоторой окрестности корня, а вдали от него это неравенство не выполняется, то итерационный процесс будет сходящимся только в том случае, если начальное приближение x0 выбрано достаточно близко к корню (рис. 4).

Рис. 4.

При произвольном выборе начального приближения сходимости может не быть (рис. 5).

Рис. 5.

Делись добром ;)