Решение систем уравнений с параметром
II. Практическая часть
Задание № 1. При каких значениях параметра а система
у = х2 - 2х2,
х2 + у2 + а2 = 2х + 2ау
имеет решения?
Решение.
Перепишем исходную систему в виде
(х - 12 = у +1,
(у - а) 2 + (х - 1) 2 = 1.
Отсюда приходим к системе
(у - а) 2 + у +1= 1
У + 1 ? 0.
или к системе
у2 + (1-2а) у + а2 = 0,
у ? - 1.
Решая первое уравнение этой системы, находим, что у1,2 = .
Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства
? - 1, решая которое, получаем а [-2, ].
Ответ: а [-2, ].
Задание №2. При каких значениях параметров а и b система имеет бесконечно много решений?
Решение.
На координатной плоскости хОу множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы - прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями и совпадают, если, и (при они имеют одну точку пересечения, при и точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система
,
где
и .
Решая систему, получаем , .
Ответ: , .
Задание №3. При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решения для любых значений параметра b?
Решение.
Если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь
.
Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то
.
Таким образом, исходная система равносильна системе
При любом система всегда имеет единственное решение. Если же , то система будет иметь решения уравнения
.
Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если и , т.е. если .
При приходим к рассмотрению уравнения
.
В данном случае решая неравенство , где , находим, что .
Ответ: .
Задание №4. При каких значениях параметра а система имеет четыре решения?
Решение.
Полагая , , перепишем систему в виде
Заметим, теперь что если пара является решением системы, то и пара - также решение этой системы. Следовательно, если - решение системы такое, что и , , то система будет иметь восемь решений.
Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: , или .
А тогда, если ; то . Если же или , то .
Ответ: , .
Задание №5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.
Решение.
Преобразуем исходную систему:
Уравнение задает пару пересекающихся прямых и .
Система
задает части этих прямых, расположенные правее прямой , т.е. лучи DB и CE (без точек B и С), см. рис.
Уравнение задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку . Следует найти все значения а, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и СЕ.
а) Прямая АB задается уравнением . Поэтому при прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.
б) Прямая АС задается уравнением . Поэтому при прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч СЕ.
в) При прямая m пресечет и луч BD, и луч СЕ.
г) Наконец, при прямая m пересечет только луч СЕ, а при она не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.
Ответ: , .
Задание №6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.
Решение.
Заменим первое уравнение разностью, а второе - суммой исходных уравнений:
При второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При получаем:
Ясно (см. рисунок), что при система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при - два решения (координаты точек M и N).
Ответ: .