Решение систем уравнений с параметром

контрольная работа

II. Практическая часть

Задание № 1. При каких значениях параметра а система

у = х2 - 2х2,

х2 + у2 + а2 = 2х + 2ау

имеет решения?

Решение.

Перепишем исходную систему в виде

(х - 12 = у +1,

(у - а) 2 + (х - 1) 2 = 1.

Отсюда приходим к системе

(у - а) 2 + у +1= 1

У + 1 ? 0.

или к системе

у2 + (1-2а) у + а2 = 0,

у ? - 1.

Решая первое уравнение этой системы, находим, что у1,2 = .

Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная система имеет хотя бы одно решение. Искомые значения а находятся из неравенства

? - 1, решая которое, получаем а [-2, ].

Ответ: а [-2, ].

Задание №2. При каких значениях параметров а и b система имеет бесконечно много решений?

Решение.

На координатной плоскости хОу множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы - прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. В общем случае две прямые, заданные уравнениями и совпадают, если, и (при они имеют одну точку пересечения, при и точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

,

где

и .

Решая систему, получаем , .

Ответ: , .

Задание №3. При каких значениях параметра а хотя бы при одном значении параметра с система имеет решения для любых значений параметра b?

Решение.

Если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, то будем иметь

.

Если же умножить на b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

.

Таким образом, исходная система равносильна системе

При любом система всегда имеет единственное решение. Если же , то система будет иметь решения уравнения

.

Рассматривая его как квадратное относительно параметра с, приходим к выводу, что оно будет иметь хотя бы одно решение, если и , т.е. если .

При приходим к рассмотрению уравнения

.

В данном случае решая неравенство , где , находим, что .

Ответ: .

Задание №4. При каких значениях параметра а система имеет четыре решения?

Решение.

Полагая , , перепишем систему в виде

Заметим, теперь что если пара является решением системы, то и пара - также решение этой системы. Следовательно, если - решение системы такое, что и , , то система будет иметь восемь решений.

Таким образом, исходная система будет иметь четыре решения в следующих двух случаях: , или .

А тогда, если ; то . Если же или , то .

Ответ: , .

Задание №5. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

Решение.

Преобразуем исходную систему:

Уравнение задает пару пересекающихся прямых и .

Система

задает части этих прямых, расположенные правее прямой , т.е. лучи DB и CE (без точек B и С), см. рис.

Уравнение задает прямую m с угловым коэффициентом a, проходящую через точку . Следует найти все значения а, при каждом из которых прямая m имеет единственную общую точку с объединением лучей BD и СЕ.

а) Прямая АB задается уравнением . Поэтому при прямая m не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.

б) Прямая АС задается уравнением . Поэтому при прямая m пересечет луч BD, но не пересечет луч СЕ.

в) При прямая m пресечет и луч BD, и луч СЕ.

г) Наконец, при прямая m пересечет только луч СЕ, а при она не пересечет ни луч BD, ни луч СЕ.

Ответ: , .

Задание №6. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения.

Решение.

Заменим первое уравнение разностью, а второе - суммой исходных уравнений:

При второе уравнение системы, а, значит, и вся система решений не имеет. При получаем:

Ясно (см. рисунок), что при система имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при - два решения (координаты точек M и N).

Ответ: .

Делись добром ;)