Вступ

Передумови для появи теорії диференціальних рівнянь склалися в другій половині XVII ст., коли математики наблизилися до усвідомлення взаємно оберненого характеру двох основних операцій аналізу нескінченно малих - диференціювання та інтегрування.

Вивчаючи явища природи, розвязуючи різноманітні задачі з фізики, техніки, біології, економіки, не завжди можна безпосередньо встановити прямий звязок між величинами, що описують той чи інший еволюційний процес. Здебільшого можна встановити звязок між цими величинами (функціями) та швидкостями їхньої зміни відносно інших (незалежних) змінних величин. При цьому виникають рівняння, в яких невідомі функції містяться під знаком похідної. Ці рівняння називаються диференціальними.

Прикладом найпростішого диференціального рівняння є рівняння

,

де f (х) - відома, а у (х) - шукана функція незалежної змінної х. Розвязки цього рівняння називають первісними функціями для функції f(х). Наприклад, розвязками диференціального рівняння

є функції

де С - довільна стала, причому інші розвязків це рівняння не має.

Мати безліч розвязків - характерна властивість диференціальних рівнянь. У цьому розумінні наведений приклад типовий. Тому розвязавши диференціальне рівняння, яке описує перебіг певного процесу, не можна одночасно знайти залежність між величинами, що характеризують цей процес. Щоб вибрати з нескінченної множини залежностей ту одну, треба знати початковий стан процесу. Без цієї додаткової умови задача недовизначена.

У різних сферах діяльності людини виникає багато задач, які зводяться до диференціальних рівнянь.

Отже, диференціальним рівнянням першого порядку називається співвідношення виду

F(x, y,)=0, (*)

де х - незалежна змінна (аргумент); у= у(х) - невідома функція аргументу х; F(х,у,) - задана функція змінних х, у, =. Рівняння (*) не розвязане відносно похідної.

Рівняння виду

=f(x, y), (**)

де f (x, y) - задана функція двох, змінних називається диференціальним рівнянням першого порядку, розвязаним відносно похідної.

Часто використовують симетричну форму запису диференціального рівняння першого порядку:

P(x, y) dx+Q(x,y) dy=0,

де P (x, y), Q (x, y) - задані функції змінних х і у.

Розвязком диференціального рівняння (*) або (**) на інтервалі (а, в) називається неперервно диференційована функція у=, яка перетворює це рівняння в тотожність, тобто

F (x,(x), )=0 x є (а, в).

Співвідношення Ф(х,у)=0 називається інтегралом рівняння (*) або (**), якщо воно неявно задає розвязок у= (х) цього рівняння.

Зараз детально розглянемо одне із диференціальних рівнянь - рівняння Ріккаті.

диференціальний рівняння ріккаті