Рівняння Ріккаті

курсовая работа

§4. Структура загального розвязку

Загальний розвязок лінійного рівняння (18) має вигляд

Підставляючи цей вираз для u в формулу (19), отримаємо загальний розвязок рівняння Ріккаті в наступному вигляді:

або

, (25)

тобто загальний розвязок рівняння Ріккаті є дробово-лінійна функція від довільної сталої С.

Такий характер залежності загального розвязку від довільної сталої має місце тільки для рівняння Ріккаті. Дійсно, нехай (25) є загальний розвязок деякого диференціального рівняння, при чому Тоді, розвязуючи (25) відносно С і виключаючи С диференціюванням, маємо:

,

або

(26)

що після ділення на коефіцієнт при приводить до рівняння Ріккаті.

§5. Побудова загального розвязку, коли відомо два або три частинних розвязки

Якщо відомо два частинних розвязки рівняння Ріккаті, то його загальний розвязок знаходиться однією квадратурою.

Насправді, якщо і -- частинні розвязки рівняння Ріккаті, то із (19) слідує, що для лінійного рівняння (18) відомо один частинний розвязок

а тоді загальний розвязок цього рівняння знаходиться однією квадратурою. Тоді, в такому випадку загальний розвязок рівняння Ріккаті знаходиться однією квадратурою.

На кінець, якщо відомо три частинні розвязки рівняння Ріккаті, то загальний розвязок знаходиться взагалі без квадратур.

Дійсно, нехай , , -- частинні розвязки рівняння Ріккаті. Тоді

суть два частинних розвязків лінійного рівняння (18). Загальний розвязок рівняння (18) знаходиться без квадратур:

(26)

Отже, в розглянутому випадку загальний розвязок рівняння Ріккаті знаходиться без квадратур.

Замінюючи в рівності (26) функцію u її значенням із формули (19), отримаємо,

Розвязуючи цю рівність відносно С, знайдемо загальний інтеграл рівняння Ріккаті у вигляді

(27)

Звідси випливає, що для будь-яких чотирьох частинних розвязків рівняння Ріккаті має місце тотожність

. (28)

Делись добром ;)