Рівняння Ріккаті
§6. Спеціальне рівняння Ріккаті
Вище було показано, як знайти загальний розвязок рівняння Ріккаті у випадку, коли відомо один, два або три частинних розвязки. Розглянемо один частинний вид рівняння Ріккаті, в якому при деякій умові загальний розвязок виражається в елементарних функціях, причому знаходиться без попереднього знання частинних розвязків. Це рівняння має вигляд
(29)
де а, b і -- сталі числа. Рівняння (29) називається спеціальним рівнянням Ріккаті. Це рівняння було вивчено Ріккаті в XVIII ст. (Вінсент Ріккаті (італ. Vincenzo de Riccati; 11 січня 1707, Кастель-Франко--17 січня 1775, Тревізо)--італійський математик, іноземний почесний член Петербурзького АН з 17 січня 1760 року. Відомий як творець гіперболічних функцій. Батько Вінсента Якопов Франческо Ріккаті ( на честь якого названо рівняння Ріккаті) був одним з найбільших італійських математиків того часу. Ріккаті успадкував батьківські інтереси в області диференціальних рівнянь). Виділимо два випадки, коли рівняння (29) інтегрується в елементарних функціях:
1) тоді змінні розділяються:
2); рівняння має вигляд:
(30)
Зробимо в (30) заміну змінної Тоді (30) набере вигляду:
або
Останнє рівняння є однорідним, що інтегрується в квадратурах. Зауваження. До вигляду (30) приводиться більш загальне рівняння
(a, l, b - сталі) розглянутою вище заміною, знищуючи член з в першому степені.
Крім і , існує ще нескінчена множина інших значень , при яких рівняння Ріккаті (29) інтегруються в елементарних функціях. Для знаходження цих значень, замінюючи в рівнянні (29) залежні змінні лінійною заміною
підберемо функції u і v від х так, щоб перетворене рівняння не містило члена з першим степенем шуканої функції і щоб вільний член не змінився. Маємо
Поставлена умови дає два рівняння для визначення u і v
Із другого рівняння знаходимо
(частинний розвязок).
Після цього із першого рівняння отримаємо
(частинний розвязок).
Шукана заміна має вигляд: і перетворене рівняння запишеться так:
Тоді, робимо дробово-лінійну заміну
(31)
при цьому звязаний з співвідношенням
(32)
і нове рівняння буде мати вигляд
Поділимо обидві частини на і перетворимо незалежну змінну так, щоб член з мав сталий коефіцієнт
Очевидно, що для зведення останнього рівняння до виду (29) достатньо покласти
(33)
Тоді отримаємо
(34)
Це є рівняння виду (29), де нові коефіцієнти мають значення і показник замінився через
Останню дробово-лінійну підстановку, звязуючу і , зводимо до наступного “канонічного вигляду”:
або
Застосовуючи до рівняння (34) з новими і теж саме перетворення (32), (33), прийдемо знову до рівняння того ж типу, в якому показник при звязаний з із співвідношеннями:
В результаті k підібраних перетворень прийдемо до показника , що звязаний з початковим показником співвідношенням:
Якщо відштовхуватись від показника , проведемо в протилежному порядку вище вказані послідовні перетворення змінних, прийдемо до рівняння з показниками звязаними з співвідношеннями:
Якщо в результаті перетворень прийдемо до показника, для якого рівняння Ріккаті інтегрується в квадратурах, то і початкове рівняння набирає те ж значення. Зокрема, легко бачити із початкової формули, звязуючої і , при маємо тобто показник -2 не змінюється при розглянутих перетвореннях, і тоді не може піти в результаті цих перетворень від другого показника. Тоді будуть цікавити лише ті випадки, коли для деякого натурального k маємо: або
Припускаючи тепер k будь-яким цілим числом (додатнім або відємним), в цих обох випадках маємо
звідки
Отримуємо дві нескінченні послідовності показників, для яких рівняння Ріккаті зводиться шляхом ряду перетворень до випадку це буде
,
Обидві послідовності мають кінцем -2. Розвязуючи знайдену для формулу відносно k, отримаємо: рівне цілому числу; це - ознака того, що належить до одної із вказаних послідовностей.
При як легко переконатись, y виражається через показникові і тригонометричні функції від х; послідовні змінні вводять ще дробові степені х; в результаті у виражається через х в елементарних функціях.
Як показав Ліувіль (1841р.), при всіх інших значеннях розвязок спеціального рівняння Ріккаті не може бути виражене квадратурами від елементарних функцій.
Рівняння Ріккаті має ту спільну властивість з лінійними рівняннями, що знання деякої кількості частинних розвязків дозволяє знайти загальний розвязок або привести його відшукання до квадратур.
Приклад 1. Розвязати рівняння
Зробимо заміну . Тоді
Поклавши , будемо мати і відокремивши змінні або Звідси С=const, CєR.
Отже, з цього виходить:
Приклад 2. Розвязати рівняння.
Це рівняння Ріккаті. Неважко бачити, що є розвязком рівняння. Тому заміна приводить дане рівняння до рівняння Бернуллі:
Поклавши дістанемо
Виберемо з умови Наприклад, Тоді для маємо рівняння
Відокремлюємо змінні:
Тому
і .
Приклад 3. Розвязати рівняння.
Це рівняння Ріккаті. Іноді частинний розвязок цього рівняння можна підібрати, враховуючи вигляд вільного члена рівняння Шукатимемо частинний розвязок у вигляді Підставивши в рівняння
бачимо, що функція є розвязком цього рівняння при і Отже, дістали два розвязки: і Заміною зводимо задане рівняння до рівняння Бернуллі:
Помноживши обидві частини цього рівняння на , дістанемо або для Звідси або Остаточно і
Приклад 4. Розвязати рівняння:
Показник відповідає значенню тоді потрібно всі заміни вести в протилежному порядку. Для зручності порівняння з відповідними формулами позначимо вихідні змінні через І тоді маємо:
тут тобто Робимо заміну незалежної змінної:
Отримаємо:
Переходячи до змінної знаходимо
.
Ми маємо a=3, b=3. Розвязуючи відносно формулу перетворення маємо
підставляємо в останнє рівняння
або спрощуючи,
Інтегруємо, розділяючи змінні
.
Поступово вертаємось до початкових змінних:
і нарешті,