3. Задача про брахистохрону з фіксованою абсцисою правого кінця

диференціальне рівняння крива

Задача. Серед гладких кривих, що починаються в крапці (а, А)= (0, 0) і кінчаються на прямій x = b > 0, знайти криву найшвидшого спуска.

Рішення. Час спуска Т(у) на кривій Y=y(x) визначається інтегралом

Лагранжевими кривими в цьому випадку є циклоїди виду

Умова трансверсальності в цьому випадку приймає вид

Шукана циклоїда повинна перетинати пряму х=b ортогональне.

Вершина циклоїди необхідно лежить на прямій х=b.